一、选择题
1.(★★★★)集合M={x|x= ,k∈Z},N={x|x= ,k∈Z},则( )
A.M=N B.M N C.M N D.M∩N= 2.(★★★★)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1
A.-3≤m≤4 B.-3
C.2
二、填空题
3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是_________.
4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________.
三、解答题
5.(★★★★★)集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1}，C={x|x2+2x-8=0},求当a取什么实数时，A∩B 和A∩C= 同时成立.
6.(★★★★★)已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an, )|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}.
试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明;如果不正确，请举例说明.
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上;
(2)A∩B至多有一个元素;
(3)当a1≠0时，一定有A∩B≠ .
7.(★★★★)已知集合A={z||z-2|≤2,z∈C},集合B={w|w= zi+b,b∈R},当A∩B=B时，求b的值.
8.(★★★★)设f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}.
(1)求证：A B;
(2)如果A={-1，3}，求B.
参考答案
难点磁场
解：由 得x2+(m-1)x+1=0 ①
∵A∩B≠ ∴方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解.
首先，由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1,当m≥3时，由x1+x2=-(m-1)<0及x1x2=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.
当m≤-1时，由x1+x2=-(m-1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1]内，从而方程①至少有一个根在区间[0，2]内.
故所求m的取值范围是m≤-1.
歼灭难点训练
一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=
nπ+ ,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}.
答案：C
2.解析：∵A∪B=A，∴B A,又B≠ ,
∴ 即2
答案：D
二、3.a=0或a≥ 4.解析：由A∩B只有1个交点知，圆x2+y2=1与直线 =1相切，则1= ,即ab= .
答案：ab= 三、5.解：log2(x2-5x+8)=1,由此得x2-5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x-8=0，∴C={2,-4},又A∩C= ，∴2和-4都不是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠ ,
∴3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，∴可得a=5或a=-2.
当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C= 不符合，所以a=5(舍去);当a=-2时，可以求得A={3，-5}，符合A∩C= ，A∩B ，∴a=-2.
6.解：(1)正确.在等差数列{an}中，Sn= ,则 (a1+an),这表明点(an, )的坐标适合方程y (x+a1),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上.
(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组 的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=-4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B= ;当a1≠0时，方程(*)只有一个解x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解.
∴A∩B至多有一个元素.
(3)不正确.取a1=1,d=1,对一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠ ,那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0= <0,y0= <0,这样的(x0,y0) A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B= ，所以a1≠0时，一定有A∩B≠ 是不正确的.
7.解：由w= zi+b得z= ,
∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得| -2|≤2,化简得|w-(b+i)|≤1.
∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0)为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.
又A∩B=B，即B A，∴两圆内含.
因此 ≤2-1,即(b-2)2≤0，∴b=2.
8.(1)证明：设x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故A B.
(2)证明：∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程x2+(p-1)x+q=0有两根-1和3，应用韦达定理，得
∴f(x)=x2-x-3.
于是集合B的元素是方程f[f(x)]=x,也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x(*)的根.
将方程(*)变形，得(x2-x-3)2-x2=0
解得x=1,3, ,- .
故B={- ，-1， ，3}.
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