难点13 数列的通项与求和
数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn}的通项。通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的报考函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法.
●难点磁场
(★★★★★)设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列{an}的前3项.
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
(3)令bn= (n∈N*)，求 (b1+b2+b3+…+bn-n).
●案例探究
[例1]已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x-1)2，且a1=f(d-1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q-1)，
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有 =an+1成立，求 .
命题意图：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质上是该数列前n项和与数列{an}的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口.
错解分析：本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错;(2)问中对条件的正确认识和转化是关键.
技巧与方法：本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列{dn}，运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣.
解：(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2，a3=f(d+1)=d2，
∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d，
∵d=2，∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q-1)=(q-2)2，
∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=-2，
∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1
(2)令 =dn，则d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),
∴dn=an+1-an=2,
∴ =2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn= [1-(-2)n].
∴ [例2]设An为数列{an}的前n项和，An= (an-1)，数列{bn}的通项公式为bn=4n+3;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明：数列{dn}的通项公式为dn=32n+1;
(3)设数列{dn}的第n项是数列{bn}中的第r项，Br为数列{bn}的前r项的和;Dn为数列{dn}的前n项和，Tn=Br-Dn，求 .
命题意图：本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系;集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推理能力.
知识依托：利用项与和的关系求an是本题的先决;(2)问中探寻{an}与{bn}的相通之处，须借助于二项式定理;而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点.
错解分析：待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行;注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清.
技巧与方法：(1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为4-1，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔;(3)问中挖掘出n与r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解.
解：(1)由An= (an-1)，可知An+1= (an+1-1)，
∴an+1-an= (an+1-an)，即 =3，而a1=A1= (a1-1)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列{an}的通项公式an=3n.
(2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n=3·[42n+C ·42n-1(-1)+…+C ·4·(-1)+(-1)2n]=4n+3，
∴32n+1∈{bn}.而数32n=(4-1)2n=42n+C ·42n-1·(-1)+…+C ·4·(-1)+(-1)2n=(4k+1)，
∴32n {bn}，而数列{an}={a2n+1}∪{a2n}，∴dn=32n+1.
(3)由32n+1=4·r+3，可知r= ，
∴Br= ，
●锦囊妙计
1.数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同.因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性.
2.数列{an}前n 项和Sn与通项an的关系式：an= 3.求通项常用方法
①作新数列法.作等差数列与等比数列.
②累差叠加法.最基本形式是：an=(an-an-1+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1.
③归纳、猜想法.
4.数列前n项和常用求法
①重要公式
1+2+…+n= n(n+1)
12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2
②等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.
③裂项求和：将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)-f(n)，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项：
④错项相消法
⑤并项求和法
数列通项与和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法.
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