难点14 数列综合应用问题
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
●难点磁场
(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x= 处取得最小值- (t>0),f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn;
(3)设圆Cn的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.
●案例探究
[例1]从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式;
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入?
命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.
知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.
错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.
技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.
解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1- )万元，…第n年投入为800×(1- )n-1万元，所以，n年内的总投入为
an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1
=4000×[1-( )n]
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+ )，…，第n年旅游业收入400×(1+ )n-1万元.所以，n年内的旅游业总收入为
bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.
=1600×[( )n-1]
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn-an>0，即：
1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0，令x=( )n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x< ，或x>1(舍去).即( )n< ，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.
[例2]已知Sn=1+ +…+ ,(n∈N*)设f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式：f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立.
命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.
错解分析：本题学生很容易求f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.
技巧与方法：解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2.
解：∵Sn=1+ +…+ .(n∈N*)
∴f(n+1)>f(n)
∴f(n)是关于n的增函数
∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于1的自然数n，不等式
f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立
只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2成立即可
由 得m>1且m≠2
此时设[logm(m-1)]2=t 则t>0
于是 解得0
由此得0<[logm(m-1)]2<1
解得m> 且m≠2.
●锦囊妙计
1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.
2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：
(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.
(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.
(3)事理关：在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
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