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章 函数、极限和连续

§1.1 函数

一、 主要内容

㈠ 函数的概念

1. 函数的定义: y=f(x), x∈D

定义域: D(f), 值域: Z(f).

2.分段函数:

3.隐函数: F(x,y)= 0

4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)

y=f-1 (x)

定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y

是严格单调增加(或减少)的；

则它必定存在反函数：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X

且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡ 函数的几何特性

1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),

则称f(x)在D内单调增加( )；

若f(x1)≥f(x2),

则称f(x)在D内单调减少( )；

若f(x1)＜f(x2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；

若f(x1)＞f(x2),

则称f(x)在D内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称

偶函数：f(-x)=f(x)

奇函数：f(-x)=-f(x)

3.函数的周期性：

周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞)

周期：T——小的正数

4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)