1:Black-Scholes方程模型优缺点:
优点:对欧式期权,有精确的定价公式;
缺点:对美式期权,无精确的定价公式,不可能求出解的表达式,而且数学推导和求解过程在金融界较难接受和掌握。
2:思想:
假定到期且只有两种可能,而且涨跌幅均为10%的假设都很粗略。修改为:在T分为狠多小的时间间隔Δt,而在每一个Δt,股票价格变化由S到Su或Sd。如果价格上扬概率为p,那么下跌的概率为1-p.
3:u,p,d的确定:
由Black-Scholes方程告诉我们:可以假定市场为风险中性。即股票预期收益率μ等于无风险利率r,故有:
SerΔt = pSu + (1 − p)Sd (23)
即:e^{r\Delta t}=pu+(1-p)d=E(S) (24)
又因股票价格变化符合布朗运动,从而 δ
S N(rSΔt,σS√Δt)(25)
=>D(S) = σ2S2δt;
利用D(S) = E(S2) − (E(S))2
E(S2) = p(Su)2 + (1 − p)(Sd)2
=>σ2S2Δt = p(Su)2 + (1 − p)(Sd)2 − [pSu + (1 − p)Sd]2
=>σ2Δt = p(u)2 + (1 − p)(d)2 − [pu + (1 − p)d]2 (26)
又因为股价的上扬和下跌应满足:ud=1 (27)
由(24),(26),(27)可解得:
其中:a = erδt。
4:结论:
在相等的充分小的Δt时段内,无论开始时股票价格如何。由(28)~(31)所确定的u,d和p都是常数。(即只与Δt,σ,r有关,而与S无关)。