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期货从业考试知识之二项分布期权定价模型

来源:233网校 2010-03-19 09:26:00
  针对布-肖模型股价波动假设过严,未考虑股息派发的影响等问题,考克斯、罗斯以及罗宾斯坦等人提出了二项分布期权定价模型(binomial option pricing model-bopm),又称考克斯-罗斯-罗宾斯坦模型〔(1)e〕。
  该模型假设:
  第一,股价生成的过程是几何随机游走过程(geometric random walk),股票价格服从二项分布。与布-肖模型一样,在bopm模型中,股价的波动彼此独立且具有同样的分布,但这种分布是二项分布,而非对数正态分布。也就是说,把期权的有效期分成n个相等的区间,在每一个区间结束时,股价将上浮或下跌一定的量,从而:
  令snj代表第n个区间后的股价,其间假定股价上浮了j次,下跌了(n-j)次,则: www.Examda.CoM考试就到考试大
  第二,风险中立(risk-neutral economy)。由于连续交易机会的存在,期权的价格与投资者的风险偏好无关,它之所以等于某一个值,是因为偏离这一数值产生了套利机会,市场力量将使之回到原先的水平。
  (一)单区间情况下买方期权的定价
  假设股票现价为s[0],一个区间后买方期权到期,那时股价或者上升为s[11]或者下降为s[10]即,:
  根据风险中立的假设,任何一种资产都应当具有相同的期望收益率,否则就会发生套利行为。也就是说此时无风险债券、股票及买方期权的将来价值满足如下关系:
  上式中,q表示的是股票价格上涨的概率,因而期权的价格乃相当于其预期价格的贴现值。
  (二)多区间情况下的买方期权定价 源:www.examda.com
  上述分析可以进一步推广到n个区间的买方期权价格的确定。首先,需计算出买方期权价格的预期值,假设在n个区间里,在股价上涨k次前,买方期权仍然是减值期权,内在价值仍为0,而k次到n次之间,它具有内在价值,则:
  (三)派发股息时买方期权的定价
  先前的分析没有考虑股息的存在,假定某种股票每股在t时将派发一定量的股息,股息因子为f,除息日与付息日相同,则在除息日股价将会下降相当于股息的金额fs[t]。
  对于美式期权,则需考虑提前执行的情况:
  在t时若提前执行,其价格等于内在的价值;不执行,则可按前面的推导得到相应的价格。最终t时的价格应当是提前执行与不提前执行情况下的最大者。即:
  (四)卖方期权的定价
  根据欧洲期权的平价关系,可直接从其买方期权导出卖方期权价格,而美国期权则不能。利用上述推导美国买方期权价格的方法,可以同样得到:
  这就是美国卖方期权的定价公式。从上述bopm模型的推演中可看出其主要特点: www.Examda.CoM考试就到考试大
  1.影响期权价格的变量主要有基础商品的市价(s),期权协定价格(x),无风险利率(r),股价上升与下降的因子(u,d),以及股息因子(f)及除息次数。事实上u与d描述的是股价的离散度,因而与布-肖模型相比,bopm所考虑的主要因素与前者基本相同,但因为增加了有关股息的讨论,因而在派发股息的期权及美国期权的定价方面,具有优势。
  2.根据二项分布的特点,bopm模型中只要对u与d及p作出适当的界定,它就可以回答跳动情况下的期权的定价问题。这是布-肖模型所不能够的。同时,当n达到一定规模后,二项分布趋向于正态分布,只要u、d及p的选择正确,bopm模型会逼近布-肖模型。
  与布-肖模型一样,二项分布定价模型也被推广到外汇、利率、期货等的期权定价上,受到理论界与实业界的高度重视。

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