2016年下半年教师资格证考试真题及答案:初中数学

三、解答题(本大题1小题，10分)

14．若函数ƒ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)可导。

(1)若ƒ(1)= ƒ(0)+3，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ƒ´(ξ)=3。(5分)

(2)若ƒ(1)=0，求证方程xƒ´(x)+ƒ(x)=0在(0，1)内至少有一个实根。(5分)

四、论述题(本大题1小题，15分)

15．函数单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的一个重要性质。

(1)请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学数学课程中函数单调性与哪些内容有关。(至少列举出两项内容)(7分)

(2)请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。(8分)

五、案例分析题(本大题1小题，20分)阅读案例，并回答问题。

16．在《有理数的加法》一节中，对于有理数加法的运算法则的形成过程，两位教师的一些教学环节分别如下：

【教师1】

第一步：教师直接给出几个有理数加法算式，引导学生根据有理数的分类标准，将加法算式分成六类，即：正数与正数相加，正数与负数相加，正数与0相加，0与0相加，负数与0相加，负数与负数相加；

第二步：教师给出具体情境，分析两个正数相加、两个负数相加、正数与负数相加的情况；

第三步：让学生进行模仿练习；

第四步：教师将学生模仿练习的题目再分成四类：同号相加，一个加数是0，互为相反数的两个数相加，异号相加。分析每一类题目的特点，得到有理数加法法则。

【教师2】

第一步：请学生列举一些有理数加法的算式；

第二步：要求学生先独立运算，然后小组讨论，再全班交流。对于讨论交流的过程，教师提出具体要求：运算的结果是什么?你是怎么得到结果的?

……讨论过程中。学生提出利用具体情境来解释运算的合理性……

第三步：教师提出问题：“不考虑具体情境，基于不同情况分析这些算式的运算有哪些规律?”

……分组讨论后再全班交流，归纳得到有理数加法法则。

问题：

(1)两位教师均重视分类讨论思想，简要说明并评价这两位教师关于分类讨论思想的教学方法的差异；(8分)

(2)请你再举两个分类讨论的例子，并结合你的例子谈谈对数学中的分类讨论思想及其教学的理解。(12分)

六、教学设计题(本大题1小题，30分)

17．《多边形的内角和》是八年级上册的内容，如何引导学生发现和推导出多边形内角和公，式是该节课的重点。

(1)如果将让学生体验“数学思考”作为该节课的一项教学目标，那么请列出该节课涉及的“数学思考的方法”；(10分)

(2)请给出两种引导学生猜想四边形内角和的学生活动设计；(6分)

(3)请列出两种证明四边形内角和的学生活动设计；(6分)

(4)某教师在《多边形的内角和》一节的教学中，设计了如下两个问题，你能说出我们为什么要研究四边形的内角和吗?你能基于四边形的内角和的证法，得到五边形、六边形，……，n边形内角和计算公式和证明方法吗?请分析该教师设计这两个问题的意图。(8分)

参考答案

12．【参考答案】

不等式(组)是刻画不等关系的数学模型，它有广泛的应用，课程的教学目标主要是使学生学习不等式的基础知识以及一类最简单的不等式(组)——一元一次不等式(组)，并运用它们解决一些数学问题和实际问题，在学习不等式的性质和一元一次不等式(组)的解法时，与不等式的性质和方程(组)的解法进行类比．有益于对知识的理解和掌握。解方程组是逐步将方程化为x=a的形式，类似地，解不等式是逐步将不等式化为x＞a或x＜a的形式，两者都运用了化归的思想。

13．【参考答案】

(1)了解定理的内容，能够解决什么问题。

例如在导入环节，可以设计成将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。重复操作以上步骤(改变第二次折叠的位置)并观察结果。

(2)理解定理的含义，认识定理的条件和结论，如在公式推导过程中对条件引起注意，通过对结论从结构、功能、性质、使用步骤等角度分析以加深印象和理解。

例如，在定理新授环节和学生一起研究、明确命题中的已知和求证；再根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证。

(3)定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性。

例如，在定理讲授证明环节，经过分析，找出由已知运用学过的知识推出求证的途径，写出证明过程，并得到结论。

(4)熟悉定理的使用，循序渐进地应用定理，将定理纳入到已有的知识体系中去。

例如，可以通过定理深化、应用环节，与已有知识相联系解决课本上的例题．并联系生活实际问题与学生一起探讨研究。

(5)引申和拓展定理的运用。

例如，布置作业，让学生思考角平分线定理的逆命题并证明。

三、解答题

14．【参考答案】

(1)设F(x)=ƒ(x)-3x，所以F(0)=ƒ(0)，F(1)= ƒ(1)-3，又因为ƒ(1)=ƒ(0)+3，所以F(0)=F(1)。又函数ƒ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)可导，所以F(x)=ƒ(x)-3x在[0，1]上连续，在(0，1)可导，所以根据罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=ƒ´(ξ)-3=0，即存在ξ∈(0，1)，使得ƒ´(ξ)=3。

(2)证明：设G(x)=xƒ(x)，有ƒ(1)=0，所以G(0)=0·ƒ(0)=0，G(1)=1·ƒ(1)=0，所以G(0)=G(1)，又有函数ƒ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)可导，所以G(x)=妒0)在[0，1]上连续，在(0，I)可导，所以根据罗尔定理，存在'7∈(0，1)，使得G´(η)=ηƒ´(η)+ƒ(η)=0，所以方程xƒ(x)+ƒ(x)=0在(0，1)至少有一个实根。

四、论述题

增，反之则单调递减。导数法适用于函数在其定义域内可导且能判断导函数与零的大小关系的情形，针对定义法解决不了的题型，或者用定义法解题相对比较繁琐。用导数法解题可能会比较简单。导数法提供了一种重要的解题思想。

五、案例分析题

16．【参考答案】

(1)第一位教师的教学方法是典型的讲授法，从～开始便将分类的思想贯穿其中。教师直接给出几个有理数加法算式并引导学生利用以前学过的有理数的分类标准进行迁移，对有理数加法算式进行分类，能够使得学生快速地接受新知识。解决实际问题。

第二位教师在教学之初并没有强调分类的重要性。但是该教师能够以学生为主体，让学生列举一些有理数的加法的算式，充分调动了学生的主观能动性。再通过小组讨论，学生交流等过程，调动学生的学习积极性给与了充分的时间与空间，对有理数加法进行讨论计算，有助于学生发散性思维的培养。

(2)举例1：关于x的方程ax2-(a+2)x+2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为_________。

本题的解题过程中，需要学生展开分类讨论，不仅要考虑一元二次方程两根相同的情况，还应考虑到在二次项系数为零且一次项系数不为0时的一元一次方程也同样满足题意。

分类的过程就是对事物共性的抽象过程，在教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类过程中如何认识对象的性质．如何区别不同对象的不同性质。分类讨论是一种思想方法，需要渗透到学生的意识中，才能有效指导实践，渗透的过程不是一蹴而就的，而是需要在教学过程中，多次反复地思考和长时间的积累才能将这种思维方式不断融入知识学习的各个阶段。

六、教学设计题

17．【参考答案】

(1)数学课程标准中关于“数学思考”的其中一条是：在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中。发展合情推理和演绎推理能力．清晰地表达自己的想法。而本节课所涉及的“数学思考的方法”是学生在参与四边形、五边形、六边形的内角和的探究过程中，猜想多边形的内角和是(n-2)×180°，然后通过添加辅助线

(对角线)等方法证明此结论，并让学生说出自己的探究过程，最后用数学语言表示出多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)×180°。

(2)第一种：

如何利用三角形的内角和求出四边形的内角和。进而发现：只需连接一条对角线，即可将一个四边形分割为两个三角形。学生说出证明过程。教师板书。

追问1：这里连接对角线起到什么作用?

预设：将四边形分割成两个三角形，进而将四边形的内角和问题转化为两个三角形所有内角的和的问题。

追问2：类似地，你能知道五边形、六边形的内角和是多少度吗?

问题：你能从四边形、五边形、六边形的内角和的研究过程获得启发。猜想多边形的内角和与边数的关系(n-2)×180°。

第二种：

提问：前面我们通过从一个顶点出发作对角线，将多边形分割成几个三角形。进而探究出n边形的内角和，

那么，是否还有其他分割多边形的方法呢?

(3)方法一：先让学生回忆多边形的对角线的求法：从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线。它们将n边形分成(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和，由于一个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和等于(n-2)×180°。

方法二：前面我们通过从一个顶点出发作对角线，将多边形分割成几个三角形，进而探究出n边形的内角和，那么，是否还有其他分割多边形的方法呢?

学生活动：学生自主探究，小组讨论交流，并让小组代表板演并讲解思路。学生可能有以下几种方法：

(4)问题一设计意图：采用简单的四边形进行引导，利于学生迅速掌握知识。学生利用辅助线多角度的把多边形的内角和灵活地转化成三角形的内角和，体会转化的数学思想，并为下面五边形、六边形以及n边形的内角和做铺垫。

问题二设计意图：引导学生动手操作、动脑思考、小组讨论．从四边形到五边形再到六边形．以知识迁移的方式进一步体会将多边形分割成几个三角形的化归过程。也进一步明确了边数、对角线条数、三角形数对多边形内角和的影响，为从具体的多边形抽象到一般的n边形的内角和的研究奠定基础。