（二）年金终值和年金现值
年金是指间隔期相等的系列等额收付款。年金包括普通年金（后付年金）、预付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等形式。普通年金是年金的最基本形式，它是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项，又称为后付年金。预付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金或即付年金。递延年金是指隔若干期后才开始发生的系列等额收付款项（第二期或第二期以后才发生）。永续年金是指无限期收付的年金，即一系列没有到期日的现金流。间隔期间可以不是一年，例如每季末等额支付的债务利息也是年金。
1.年金终值
（1）普通年金终值
普通年金终值是指普通年金最后一次收付时的本利和，它是每次收付款项的复利终值之和。
【例2－3】小王是位热心于公众事业的人，自2005年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1 000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王9年的捐款在2013年年底相当于多少钱？
『正确答案』FA＝1 000×（F/A, 2%, 9）＝1 000×9.7546＝9 754.6（元）。
【例2－4】A矿业公司决定将其一处矿产10年开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权，从获得开采权的第1年开始，每年年末向A公司交纳10亿美元的开采费，直到10年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美元，在8年末再付给60亿美元。如A公司要求的年投资回报率达到15%，问应接受哪个公司的投标？
要回答上述问题，主要是要比较甲乙两个公司给A公司的开采权收入的大小。但由于两个公司支付开采费用的时间不同，因此不能直接比较，而应比较两公司支出款在第10年末终值的大小。
甲公司的方案对A公司来说是一笔年收款10亿美元的10年年金，其终值计算如下：
F＝A×（F/A, 15%, 10）＝10×20.304＝203.04（亿美元）
乙公司的方案对A公司来说是两笔收款，分别计算其终值：
第1笔收款（40亿美元）的终值＝40×（1＋15%）10
＝40×（F/P, 15%, 10）
＝40×4.0456
＝161.824（亿美元）
第2笔收款（60亿美元）的终值＝60×（1＋15%）2
＝60×（F/P, 15%, 2）
＝60×1.3225
＝79.35（亿美元）
终值合计＝161.824＋79.35＝241.174（亿美元）
甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，因此，A公司应接受乙公司的投标。
【例题】（2007年第一大题第2小题）某公司从本年度起每年年末存入银行一笔固定金额的款项，若按复利制用最简便算法计算第n年末可以从银行取出的本利和，则应选用的时间价值系数是（ ）。
A.复利终值系数 B.复利现值系数 C.普通年金终值系数 D.普通年金现值系数
『正确答案』C
『答案解析』本题中是每年年末存入，并求第n年末可以取出的本利和，因此应选用普通年金终值系数。
（2）预付年金终值的计算
预付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付的系列款项的终值。
FA＝ A （F/A, i, n） × （1＋i）
或者：FA＝A［（F/A, i, n＋1）－1］
【例2－5】为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3 000元。若银行存款利率为5%，则王先生在第6年年末能一次取出本利和多少钱？
『正确答案』FA＝ A ［（F/A, i, n＋1）－1］
＝3 000×［（F/A, 5%, 7）－1］
＝3 000×（8.1420－1）
＝21 426（元）。
【例2－6】某公司打算购买一台设备，有两种付款方式：一是一次性支付500万元，二是每年年初支付200万元，3年付讫。由于资金不充裕，公司计划向银行借款用于支付设备款。假设银行借款年利率为5%，复利计息。请问公司应采用哪种付款方式？
对公司来说，如果一次支付，则相当于付现值500万元；而若分次支付，则相当于一个3年的预付年金，公司可以把这个预付年金折算为3年后的终值，再与500万元的3年终值进行比较，以发现哪个方案更有利。
如果分次支付，则其3年的终值为：
F＝200×（F/A,5%,3）×（1＋5%）
＝200×3.1525×1.05
＝662.025（万元）
如果一次支付，则其3年的终值为：
500×（F/P，5%，3）＝500×1.1576＝578.8（万元）
公司应采用第一种支付方式，即一次性付款500万元。
（3）递延年金终值
FA＝A（F/A，i，n）
注意式中“n”表示的是A的个数，与递延期无关。
补充:永续年金无终值。
2.年金现值
（1）普通年金现值
普通年金现值是指将在一定时期内按相同时间间隔在每期期末收入或支付的相等金额折算到第一期初的现值之和。
【例2－7】某投资项目于2012年年初动工，假设当年投产，从投产之日起每年末可得收益40 000元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。
P＝ 40 000×（P/A, 6%, 10）
＝40 000×7.3601
＝294 404（元）
（2）预付年金现值
预付年金现值是指将在一定时期内按相同时间间隔在每期期初收付的相等金额折算到第一期初的现值之和。
PA ＝A×（P/A,i,n）（1＋i）
＝A×［（P/A,i,n－1）＋1］
【例2－8】以【例2－6】为例，要求通过比较现值的方式判断那种支付方式更有利。
『正确答案』PA＝ A ×［（P/A, i, n－1）＋1］
＝200 ×［（P/A,5%, 2）＋1］
＝200 × （1.8594＋1）
＝571.88（万元）
可见，分期支付的现值大于一次性支付，因此，一次性支付500万更有利，这与利用终值进行判断的结论是一致的。
【2003年第一大题第25小题】已知（F/A，10%，9）＝13.579，（F/A，10%，11）＝18.531。则10年，10%的即付年金终值系数为（ ）。
A.17.531 B.15.937 C.14.579 D.12.579
『正确答案』A
『答案解析』即付年金终值FA＝A［（F/A, i, n＋1）－1］
则10年，10%的即付年金终值系数＝（F/A，10%，11）－1＝17.531。
【2004年第一大题第1小题】根据资金时间价值理论，在普通年金现值系数的基础上，期数减1、系数加1的计算结果，应当等于（ ）。
A.递延年金现值系数 B.后付年金现值系数
C.即付年金现值系数 D.永续年金现值系数
『正确答案』C
『答案解析』即付年金现值PA ＝A×（P/A,i,n）（1＋i）
＝A×［（P/A,i,n－1）＋1］，因此本题的正确答案为C。
（3）递延年金现值
递延年金的计算方法有三种：
计算方法一：先将递延年金视为n期普通年金，求出在递延期期末的普通年金现值，然后再折算到现在，即第0期价值：
PA＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）＝ 30×（P/A，10%，4）×（P/F，10%，2）
式中，m为递延期，n为连续收支期数，即年金期。
计算方法二：先计算m＋n期年金现值，再减去m期年金现值：
PA＝A×［（P/A，i，m＋n）－（P/A，i，m）］＝ 30×［（P/A，10%，6）－（P/A，10%，2）］
计算方法三：先求递延年金终值再折现为现值：
PA＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）＝ 30×（F/A，10%，4）×（P/F，10%，6）
【例2－9】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年至第20年每年年末偿还本息5 000元。要求：用两种方法计算这笔款项的现值。
『正确答案』方法一：PA＝ A×（P/A，10%，10） ×（P/F，10%，10）
＝5 000×6.1446×0.3855
≈11 843.72（元）
方法二：PA＝ A×［（P/A，10%，20）－ （P/A，10%，10）］
＝5 000×（8.5136－6.1446）
＝11 845（元）
两种计算方法相差1.28元，是因货币时间价值系数的小数点位数保留造成的。后面的例题中也有类似的情况，不再一一说明。
【例2－10】某公司拟购置一处房产，房主提出两种付款方案：
（1）从现在起，每年年初支付200万元，连续付10次，共2000万元。
（2）从第5年开始，每年年初支付250万元，连续支付10次，共2500万元。
假设该公司的资本成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？
『正确答案』（1）PA＝ 200×［（P/A，10%，9）＋1］
＝ 200×6.7590
＝1351.80（万元）
（2）PA＝ 250×［（P/A，10%，9）＋1］×（P/F，10%，4）＝1154.10（万元）
或者：PA＝250×{［（P/A，10%，13）＋1］－ （P/A，10%，3）＋1}＝1154.13（万元）
或者：PA＝250×［（F/A，10%，11）－1］×（P/F，10%，14）＝1153.98（万元）
最好为：P＝ 250×（P/A，10%，10）×（P/F，10%，3）
或者：P＝250×［（P/A，10%，13）－（P/A，10%，3）］
或者：P＝ 250×（F/A，10%，10）×（P/F，10%，13）
由于第二方案的现值小于第一方案，因此该公司应选择第二种方案。
（4）永续年金的现值
PA （n→∞） ＝A/i
【例2－11】归国华侨吴先生想支持家乡建设，特地在祖籍所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖励每年高考的文理科状元各10 000元。奖学金的基金保存在中国银行该县支行。银行一年的定期存款利率为2%。问吴先生要投资多少钱作为奖励基金？
由于每年都要拿出20 000元，因此奖学金的性质是一项永续年金，其现值应为：
PA ＝20 000/2%＝1 000 000（元）
也就是说，吴先生要存入1 000 000元作为基金，才能保证这一奖学金的成功运行。
3.年偿债基金的计算
年偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额（即已知终值F，求年金A）。在普通年金终值公式中解出A，这个A就是年偿债基金。
【例2－12】某人拟在5年后还清10 000元债务，从现在起每年年末等额存入银行一笔款项。假设银行利率为10%，则每年需存入多少元？
【例题】（2007年第二大题第33小题）在下列各项中，可以直接或间接利用普通年金终值系数计算出确切结果的项目有（ ）。
A.偿债基金 B.先付年金终值 C.永续年金现值 D.永续年金终值
『正确答案』AB
【例题】（2008年第一大题第7小题）某公司拟于5年后一次还清所欠债务100 000元，假定银行利息率为10%，5年10%的年金终值系数为6.1051，5年10%的年金现值系数为3.7908，则应从现在起每年末等额存入银行的偿债基金为（ ）。
A.16379.75 B.26379.66 C.379080 D.610510
『正确答案』A
『答案解析』年偿债基金A＝FA/（F/A，10% ，5）＝
＝16379.75
4.年资本回收额的计算
年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本的金额。年资本回收额的计算实际上是已知普通年金现值P，求年金A。
【例2－13】某企业借得1 000万元的贷款，在10年内以年利率12%等额偿还，则每年应付的金额为多少？
『正确答案』A＝1 000×
＝1 000/5.6502
≈176.98（万元）
由上述计算可知：（1）年资本回收额与普通年金现值互为逆运算；（2）资金回收系数与普通年金现值系数互为倒数。
【2004年第一大题第25小题】
在下列各项资金时间价值系数中，与资本回收系数互为倒数关系的是（ ）。
A.（P/F，i，n） B.（P/A，i，n）
C.（F/P，i，n） D.（F/A，i，n）
『正确答案』B
『答案解析』资金回收系数与普通年金现值系数互为倒数。
【2006年第三大题第88小题】
在有关资金时间价值指标的计算过程中，普通年金现值与普通年金终值是互为逆运算的关系。（ ）
『正确答案』×
『答案解析』普通年金现值和年资本回收额互为逆运算；普通年金终值和年偿债基金互为逆运算。
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