考点二 资金时间价值的计算
(一)单利和复利
1．单利
概念：单利利息和时间成线性关系，只计算本金的利息，本金所产生的利息不再计算利息。
计算公式：I=P·n·i
式中，I是利息额；P是本金；i是利率；n是计息周期。
2．复利
概念：复利指每期末不支付利息，而将该期利息转为下期的本金，即不但本金产生利息，而且利息也产生利息(即利滚利)。
计算公式：F=P×(1+i)n，I=F-P
式中，I是利息额；F是本利和(还本付息总额)；P是本金；i是利率；n是计息周期。
【注意】单利没有完全地反映出资金运动的规律性，不符合资金时间价值的本质，因而通常采用复利计算。
【例2·单选题】将1000元存入银行，年利率为6％，如果按单利计算，则三年后的本利和为（ ）元。
A．1180
B．1191．02
C．1080
D．1000
【答案】A
【解析】利息=1000×6％×3=180(元)，本利和=looo+1000×6％×3=1180(元)。
【例3·单选题】将l000元存入银行，年利率为6％，如果按复利计算．则三年后的本利和为（ ）元。
A．1180
B．11 91．O2
C．1080
D．1000
【答案】B
【解析】本利和=1000×(1+6％)3=1191．02(元)。
【注意】本金与利率均相同时，按复利计算的利息要比按单利计算的利息高，这是由于利息的部分也产生利息的缘故。
(二)现金流量图
现金流量图
概念 |
用图示的方法将现金的流进与流出、量值的大小、发生的时点描绘出来，将该图称为现金流量图 |
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画法
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①一条向右的带箭头的线代表时间轴 |
【注意】
(1)流入和流出是相对而言的，借方的流入是贷方的流出，反之亦然；
(2)现金流量图是后续计算的重要基础。需要熟练掌握。
(三)资金时间价值的计算
资金时间价值的计算
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三个值 |
①P：现值：表示现在时点的资金额 |
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两个因素 |
①利率(i)．②计息期(n) |
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六种换算
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①P～F，已知现值，换算为终值 |
【注意】因数表示为(A／P，i，n)的含义：
A／P表示经济活动的内涵，斜杠右边的表示已知的值．斜杠左边的表示要求的值。如A／P表示已知现值P求年值A；i和n表示两个因素：利率和计息期。
1．现值换算为终值P～F
F=P(1+i)n
形象记忆：(存款)一次存钱，到期本利合计多少。
系数名称：一次支付复本利和因数(F／7P，i，n)。
【例4·单选题】某建筑商向金融机构贷款500万元，按复利计息，年利率为12％。若第5年末一次还本付息，应偿还（ ）万元。
A．687
B．881
C．965
D．600
形象记忆：(存款)已知到期本利合计数，求最初本金。
系数名称：一次支付现值因数(P／F，i，n)。
【例5·单选题】将一笔资金按年利率6％存入银行，以复利计息，要在5年后本利和为l00万元，则现在应存款（ ）万元。
A．60
B．74．73
C．65．25
D．55．65
【答案】B
【解析】本题考查终值换算为现值(F～P)的计算。P—F(P／F，i，n)=F／(1+i)n=100÷(1+6％)5=74．73(万元)。
3．年值换算为终值A～F
形象记忆：(存款)等额零存整取。
系数名称：等额支付将来值(终值)因数(F／A，i，n)。
【例6·单选题】若每年年末存入银行10万元，年利率为6％，则5年后的复本利和为（ ）万元。已知(F／A，i，n)=5．637。
A．56．37
B．75．25
C．54．25
D．60．65
【答案】A
【解析】本题考查年值换算为终值(A～F)的计算。F=A(F／A，i，n)=10×5．637=56．37(万元)。
4．终值换算为年值F～A
形象记忆：(存款、养老保险)已知最后要取出一笔钱，每年应等额存人多少钱。年轻时定期等额支付养老金，到一定年龄一次性取出，问一次性可取多少钱。
系数名称：等额支付偿债基金因数(A／F，i，n)。
【例7·单选题】某设备估计尚可使用5年。为此准备5年后进行设备更新，所需资金估计为30万元，若存款利率为5％，从现在开始每期末均等的存款，则应存款（ ）万元。已知(A／F，5％，5)=0．18097。
A．6．426
B．5．429
C．4．846
D．5．868
【答案】B
【解析】本题考查终值换算为年值(F～A)的计算。A=F(A／F，i，n)=30×(A／F，5％，5)=30X0．18097=5．429(万元)。
5年值换算为现值A～P
形象记忆：(按揭)住房按揭贷款。已知贷款额，求月供或年供。
系数名称：资本回收因数(A／P，I,n)。
【例8·单选题】某人贷款12万元，分l0年摊还，年利率为6％，按月计息，则每月的偿还金额为（ ）元。
A．1332
B．1532
C．1254
D．1554
【答案】A
【解析】本题考查现值换算为年值(P～A)的计算。本题需要注意的是计息期。已知的是年利率，但求的是月还款额，P=12万元，因此i=6％÷l2=0．5％，n=10 × 12=120。所以A=P(A／P，6％／12，120)=12× 0．0111=0．1332(万元)。
资金的时间价值换算总结
换算 |
系数名称 |
公式 |
形象记忆 |
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现值换算为终值 |
一次支付复本利和因数(F／P，i,n) |
F=P(F／P，i，n) |
(存款) |
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终值换算为现值 |
一次支付现值因数(P／F，i．n) |
P=F(P／F，i，n) |
(存款) |
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年值换算为终值 |
等额支付终值因数(F／A，i，n) |
F—A(F／A，i，n) |
(存款)等额零存整取 |
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终值换算为年值 |
等额支付偿债基金因数(A／F，i，n) |
A=F(A／F，i，n) |
(存款) |
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年值换算为现值
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等额支付现值因数(P／A．i，n)
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P=A(P／A，i，n)
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(养老金) 年可领取年金若干，求当初存入多少钱 |
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现值换算为年值 |
资本回收因数(A／P，i，n) |
A=P(A／P，i，n) |
(按揭)(养老金) |
(四)资金时间价值换算的基本公式推导的假定条件
为了准确地运用前面的六个公式，必须搞清其推导的前提条件，当所遇到的问题的现金流量不符合上述公式推导的前提条件时，只要将其折算成符合上述假设条件后。即可运用上述的基本公式。这些条件是：
1．实施方案的初期投资假定发生在方案的寿命期初
2．方案实施中发生的经常性收益和费用假定发生在计息期的期末
(1)事实上现金流在一年中随机地发生，但是公式默认为现金流发生在每一期的期末。而且在题目中如没有特别说明，都假设现金流发生在期末，即每年的年末。
(2)1年上的现金流假设发生在第1年年末，N年上的现金流假设发生在第N年年末。
(3)现金流量图中的0点，表示第1年的年初，其他年数1、2、3、…、N都表示是这一年的年末。
(4)只有初始投资是在第一个计息期的期初，其他年内的投入或支出，都要归在这一个计息期的期末。
3．本期的期末为下期的期初
前一期的期末就意味着今期的期初，除了第一个计息期外，一笔收入或支出如果发生在这一年的年初，则在现金流量图中必须表示为上一年的流入或流出中。
【例9·单选题】某建设项目，建设期为3年，建设期第1年贷款400万元，第2年贷款500万元，第3年贷款300万元，贷款均为年初发放，年利率为l2％，采用复利法计算建设期的贷款利息，则第3年末贷款的复本利和为（ ）万元。
A．1525．16
B．1375．17
C．1489．17
D．1625．17
【答案】A
【解析】注意本题中的特殊条件“贷款均为年初发放”。
F=P1(F／P，12％，3)+P2(F／P，12％，2)+P3(F／P，12％，1)=400 × 1．4049+500×1．2544+300×1．12=1525．16(万元)。
6．年值A是在考察期间间隔发生的；当问题包括P和A时，系列的第一个A是在P发生一个期间后的期末发生的；当问题包括F和A时，系列的最后一个A与F同时发生。
(1)当包括P和A时，系列的第一个A在P发生一个期间后的期末发生。
【例10·单选题】为了在未来5年内通过储蓄得到3万元，若利率为12％，每年年初应存入（ ）元。
(P／F，12％，1)=0．8929，(A／F，12％，5)=0．1574。
A．3816
B．4516
C．4216
D．5216
【答案】C
【解析】
【注意】
(1)第1年年初在零的位置上；
(2)第1次A换算为F，在第4年的位置上，不在第5年位置，所以必须再进行一次换算。
A=F(P／F，i，n2)(A／F，i，n1)=30000×(P／F，12％，1)×(A／F，12％，5)=4216(万元)。
(五)三值(年值、现值、终值)之间换算题型汇总
1．常见题型
(1)在三个值之间进行直接的换算(初级——直接套公式)。
(2)条件不符合公式的假定条件，需进行一定的变换(中级——套用多个公式换算)。
(3)综合题，主要是案例分析题，结合运用各知识，需要对题目有一个非常透彻的理解(高级)。
2．解题步骤
第一步，审题。复杂题必须画出现金流量图帮助理解。
第二步，确定换算关系。审题后确定其经济活动的内涵是哪两个值之间的换算，写出关系式，如A=P(A／P，i，n)，这需要熟练掌握六种换算。
第三步，审查条件。题中的条件与公式换算的假定条件是否一致，如不一致，则需调整换算关系式。
第四步，检查一致性。注意i与n的内涵是否一致。
(1)如果i是年(季、月)利率，则n就是以年(季、月)为标准的计息期。
(2)如果没有明确告知，则季利率等于年利率除以4，月利率等于年利率除以12。
第五步，计算。将已知数据带入关系式中计算。
【例11·单选题】某人每年年末存款1000元，前8年年利率为3％，后2年的年利率变为4％，问该人存款的10年末复本利和为（ ）元。已知(F／A，3％．8)=8．8932，(F／P，4％，2)=1．082，(F／A，
4％，2)=2．040。
A．11662
B．11562
C．12562
D．12662
【答案】A
【解析】第一步，审题。先画出现金流量图。
第二步，确定换算关系A～F。本题分两部分分别计算相加。
第三步，审查条件。
■每年年末，符合公式；
■当包括F和A时，系列的最后一个A与F同时发生，也就是两部分折算成F。和F。时，分别处在第8年和第10年的位置上；
■两部分换算后的终值不在同一时点上，不能直接进行代数运算，必须再进行一次换算。将发生在第8年的F。再换算到第l0年的位置上，他们之间的关系相当于P～F；
■调整后的公式为：
F=A1(F／A，3％，8)(F／P，4％，2)+A2(F／A，4％，2)。
第四步，注意一致性。
■年利率与计息期一致；
●注意第二次折算时，采用最新的利率。
第五步，计算。复本利和=1000×8．8932×1．08+1000×2．040=11662(元)。
【例l2·单选题】欲进行房地产开发，需购置土地．假设土地价款支付方式是：现时点支付600万元，此后，第一个5年每半年支付40万元；第二个5年每半年支付60万元；第三个5年每半年支付80万元；
按复利计算，每半年的资本利率为4％。则该土地的价格相当于现时点的值是（ ）万元。
A．1549．35
B．16562．25
C．15562．75
D．14662．35
【答案】A
【解析】作法一：
P=600+[40×(F／A，4％，30)+20×(F／A，4％，20)+20×(F／A，4％10)]×(P／F，4％，30)=600+[40×56．085+20×29．778+20×12．006]×0．3083=1 549．28(万元)。
【注意】方法不同所得结果稍有误差，但是并不影响考生对答案作出判断。
