1.6 风险管理的数理基础
1.6.1 收益的计量
1.绝对收益
绝对收益是对投资成果的直接衡量，反映投资行为得到的增值部分的绝对量。
绝对收益=P-P0
最常用的两种相对收益计量方法是百分比收益率和对数收益率。
2.百分比收益率
百分比收益率是对期初投资额的一个单位化调整，即一个单位货币在给定投资周期的收益率。
百分比收益率只考虑了期初的投资额，没有考虑不同投资期限的影响。
背景知识：计算资产组合收益率
资产组合的百分比收益率等于各资产百分比收益率的加权平均。对于包含N种资产的投资组合，总资产的百分比收益率为： 。
3.对数收益率
当复利是连续计算时，就得到对数收益率。对数收益率是两个时期资产价值取对数后的差额：
即资产多个时期的对数收益率等于其各时期对数收益率之和。
【例题】
下列关于收益计量的说法，正确的是(B)。
A.相对收益是对投资成果的直接衡量，反映投资行为得到的增值部分的绝对量。
B.资产多个时期的对数收益率等于其各时期对数收益率之和。
C.资产多个时期的百分比收益率等于其各时期百分比收益率之和。
D.百分比收益是绝对收益。
1.6.2 风险的量化原理
1.预期收益率和方差的计算
风险管理过程中所计算的预期收益率是一种平均水平的概念，但不是简单的直接平均，而是对未来可能结果的加权平均，即每一种结果的收益率乘以这种结果出现的可能性。
不确定结果的标准差通常被用来刻画其不确定程度，标准差越大表明不确定性越大，即出现较大收益或损失的机会增大。当标准差很小或接近于零时，可能出现的结果的不确定性程度减小。
【例题】
假定股票市场一年后可能出现5种情况，每种情况所对应的概率和收益率如下表所示：
概率0.050.200.150.250.35
收益率50%-10%-25@%
则，一年后投资股票市场的预期收益率为(D)。
A.18.25%
B.27.25%
C.11.25%
D.11.75%
2.风险分散的原理
投资者在预期收益相同的条件下，愿意投资风险(标准差)更小的资产;而在相同的风险水平，希望得到收益更高的资产。如果两种资产的预期收益分别为R1和R2，每一种资产的投资权重分别为W1和W2=1-W1，则该组合投资的预期收益为Rp=W1R1+W2R2。如果两种资产的标准差分别为σ1和σ2，则该组合的标准差为：
相关系数ρ是一个绝对值小于1的数。在两种资产之间的收益率变化不完全相关，即ρ<1时，用标准差度量的加权组合资产的风险小于各资产风险加权和，体现了组合投资降低和分散风险的作用。
3.风险分散的数理逻辑
上述分析中假设各家公司的违约彼此不存在相关性。实践中，由于宏观或行业等共同因素作用会使公司违约存在一定的相关性。如果相关性存在，则风险分散的结果会有所变化：当相关性为正则分散效果变差，当相关性为负则分散效果更好。为了使违约的相关性尽可能低，通常需要将贷款分布到不同的行业或地域。由此可见，商业银行通过实施风险分散的贷款策略，可以使发生大额损失的可能性显著降低，这也正是商业银行利用自身风险管理的优势，通过对风险进行分配而达到管理和降低风险、保持稳定收益的目的。
1.6.3 风险敏感性分析的泰勒展式
风险管理的主要任务就是评价各种风险因素的变化对资产价值的影响。
1.变化率和导数
风险因素的变化程度不大时，资产价值的变化率就是函数关于风险因素的一阶导数： 2.泰勒展式的近似程度
泰勒展式的近似效果与使用多少阶导数有关，也以离开给定点的距离有关。
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