第二节 资金时间价值
考点一、资金时间价值的含义
资金时间价值，是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。
通常情况下，它相当于没有风险也没有通货膨胀情况下的社会平均利润率，是利润平均化规律发生作用的结果。
利率=纯粹利率+通货膨胀补偿率+风险收益率
考点二、现值和终值的计算
终值又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额，通常记作F。
现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额，通常记作P。
现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，其差额即为资金的时间价值。
(一)单利的现值和终值
1．单利终值
【例题】某人将100元存入银行，年利率2％，求5年后的终值。
=1OO+1OO×2％×5 =1OO×（1+5×2％）=110（元）
F＝P×（1＋i×n）
2.单利现值
P＝F/（1＋i×n）
【例题】某人为了5年后能从银行取出500元，在年利率2％的情况下，目前应存入银行的金额是多少？
P=F／（1+n×i）=500／（1+5×2％）≈454.55（元）
结论：
(1)单利的终值和单利的现值互为逆运算，
(2)单利终值系数(1+ n×i )和单利现值系数1／(1+ n×i)互为倒数。
(二)复利的现值和终值
复利计算方法是指每经过一个计息期，要将该期所派生的利息加入本金再计算利息，逐期滚动计算，俗称“利滚利”。这里所说的计息期，是指相邻两次计息的间隔，如年、月、日等。除非特别说明，计息期一般为一年。
1.复利终值
【例题】某人将100元存入银行，复利年利率2％，求5年后的终值。
F＝P（1+1） n =100×（1+2％）5=110.4（元）
F=P（1+i） n
式中，（1+1）n为复利终值系数，记作（F／P，i，n），n为计息期。
2.复利现值
P=F／（1+i）n
式中，1／（1+i）n为复利现值系数，记作（P／F，i，n）；n为计息期。
【例题】某人为了5年后能从银行取出100元，在复利年利率2％的情况下，求当前应存入金额。
P=F／（1+i）n =100／（1+2％）5＝90.57（元）
结论：
(1)复利终值和复利现值互为逆运算；
(2)复利终值系数和复利现值系数互为倒数。
(三)年金终值和年金现值的计算
年金：等期等额收付款项。如交保险、季交房租；
包括普通年金(后付年金)、即付年金(先付年金)、递延年金、永续年金等形式。
普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，而朗付年金发生在期初。
递延年金和永续年金是派生出来的年金。递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永续年金的收付期趋向于无穷大。
1．普通年金终值的计算(已知年金A，求终值F)
图示：年末存入10000元，利率10%，5年后的本利和。
F=A× =A×(F/A,i,n)=A×普通年金现值系数
【例题】小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2％，则小王9年的捐款在2003年底相当于多少钱？
F=1000×（F／A，2％，9）=1000×9.7546=9754.6（元）
【例题】A矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权，从获得开采权的第1年开始，每年末向A公司交纳10亿美元的开采费，直到10年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美元，在8年后开采结束，再付给60亿美元。如A公司要求的年投资回报率达到15%，问应接受哪个公司的投标?
甲公司：10亿美元的10年年金终值：（第1年末支付）
F=10×（F/A，15%，10）=10×20.304=203.04（亿美元）
乙公司：两笔收款复利终值：
第1笔收款（40亿美元）的终值（第1年初支付）
=40×（1+15%）10
=40×4.0456
=161.824（亿美元）
第2笔收款（60亿美元）的终值（第9年初支付）
=60×（1+15%）2
=60×1.3225
=79.35（亿美元）
终值合计161.824+79.35=241.174（亿美元）
因此，甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。
2.偿债基金的计算
偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额(即已知终值F，求年金A)。
在普通年金终值公式中解出A，这个A就是偿债基金。计算公式如下：
式中， 称为“偿债基金系数”，记作（A/F，i，n）。
【例题】某人拟在5年后还清10000元债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假设银行利率为10％，则每年需存入多少元？
解答：
方法1：
根据公式A＝F×i/[（1+i）n-1]
＝10000× 10％/[（1+10％）5-1]
方法2：
＝10000×（A／F，10％，5）（注：偿债基金系数：年金终值系数的倒数）
＝10000×0.1638
＝1638（元）
【结论】
（1）偿债基金和普通年金终值互为逆运算；
（2）偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。
3.普通年金现值
普通年金现值的计算实际上就是已知年金A，求普通年金现值P。
P=A× =A×(P/A,i,n)=A×普通年金现值系数
【例题】某投资项目于2000年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益40000元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。
【解答】P＝40000×（P/A，6%，10）
＝40000×7.3601
＝294404（元）
【例题】钱小姐最近准备买房，看了好几家开发商的售房方案，其中一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10万元，然后分6年每年年末支付3万元。钱小姐很想知道每年付3万元相当于现在多少钱，好让她与现在2000元/平方米的市场价格进行比较。（贷款利率为6%）
【解答】P=3×（P/A，6%，6）=3×4.9173=14.7519（万元）
钱小姐付给A开发商的资金现值为：10+14.7519=24.7519（万元）
如果直接按每平方米2000元购买，钱小姐只需要付出20万元，可见分期付款对她不合算。
4.年资本回收额的计算
年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额。年资本回收额的计算实际上是已知普通年金现值P，求年金A。
上式中， 称为资本回收系数，记作（A/P，i，n）。
【例题】某企业借得1000万元的贷款，在10年内以年利率12％等额偿还，则每年应付的金额为多少？
解答：A=1000×12％/[1-（1+12％）-10]
=1000×1/（P/A，12％，10）
=1000×1/5.6502
≈177（万元）
【结论】
（1）年资本回收额与普通年金现值互为逆运算；
（2）资本回收系数与年金现值系数互为倒数。
5.即付年金终值的计算
即付年金的终值是指把即付年金每个等额A都换算成第n期期末的数值，再来求和。
即付年金种植的计算公式为：
方法一： F＝A×(F/A，i，n)×(1＋i)＝普通年金终值×(1＋i)
方法二：
即付年金终值＝年金额×即付年金终值系数(在普通年金终值系数基础上期数加1，系数减1)
F＝A×[(F/A，i，n＋1)-1]
【例题】为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。若银行存款利率为5%，则王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱?
【解答】
【方法一】F=3000×（F/A，5%，6）×（1+5%）=21426（元）
【方法二】F=A×[（F/A，i，n+1）-1]
=3000×[（F/A，5%，7）-1]
=3000×（8.1420-1）
=21426（元）
6.即付年金现值
即付年金的现值就是把即付年金每个等额的A都换算成第一期期初的数值即第0期期末的数值，再求和。即付年金现值的计算就是已知每期期初等额收付的年金A，求现值P。
方法一：
＝A·（P/A，i，n）（1＋i）
方法二：期数减1，系数加1
【例题】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15 000元，分l0年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?
解答：
方法一：
P＝A·（P/A，i，n）（1＋i）
＝15 000×[（P/A，6%，l0）×（1＋6%）]
＝15 000×[7.3601×（1＋6%）]
＝15 000×7.8017
＝117 025.5（元）
方法二：
P＝A·{（P/A，i，n-1）+1}
＝15 000×[（P/A，6%，9）+1]
＝15 000×[6.8017+1]
＝117 025.5（元）
7.递延年金终值
定义：例如分期付款，前5年不支付，第6年起到15年，每年末支付18万元。
递延年金的终值计算与普通年金的终值计算一样，只是要注意期数。
F＝A（F/A，i，n）
式中，“n”表示的是A的个数，与递延期无关。
【例题】某投资者拟购买一处房产，开发商提出了三个付款方案：
方案一是现在起15年内每年末支付10万元；
方案二是现在起15年内每年初支付9.5万元；
方案三是前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18万元。
假设按银行贷款利率10%复利计息，若采用终值方式比较，问哪一种付款方式对购买者有利？
解答：
方案一：F＝10×（F/A，10%，15）
＝10×31.772＝317.72（万元）
方案二：F＝9.5×[（F/A，10%，15）（1＋10%）]
＝332.03（万元）
方案三：F＝18×（F/A，10%，10）＝18×15.937＝286.87（万元）
从上述计算可得出，采用第三种付款方案对购买者有利。
8.递延年金现值
图示：例如分期付款，前5年不支付，第6年起到15年，每年末支付18万元。
计算方法一：
先将递延年金视为n期普通年金，求出在m期普通年金现值，然后再折算到第一期期初：
P0＝A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
式中，m为递延期，n为连续收支期数。
计算方法二：
先计算m＋n期年金现值，再减去m期年金现值：
P0＝A×[（P/A，i，m＋n）-（P/A，i，m）]
计算方法三：
先求递延年金终值再折现为现值：
P0＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
【例题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前l0年不用还本付息，但从第11年～第20年每年年末偿还本息5 000元。
要求：用两种方法计算这笔款项的现值。
解答：方法一：
P＝A×（P/A，10%，l0）×（P/F，10%，l0）
＝5 000×6.145×0.386
＝11 860（元）
方法二：
P＝A×[（P/A，10%，20）-（P/A，10%，l0）]
＝5 000×[8.514-6.145]
＝11 845（元）
两种计算方法相差l5元，是因小数点的尾数造成的。
9．永续年金的现值
永续年金的现值可以看成是一个n无穷大后付年金的现值.
P（n→∞）＝A[1-（1＋i）-n]/i＝A/i
【例题】归国华侨吴先生想支持家乡建设，特地在祖籍所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖励每年高考的文理科状元各10 000元。奖学金的基金保存在中国银行该县支行。银行一年的定期存款利率为2%。问吴先生要投资多少钱作为奖励基金?
解答：由于每年都要拿出20 000元，因此奖学金的性质是一项永续年金，其现值应为：
20 000/2%＝1 000 000（元）
也就是说，吴先生要存入1 000 000元作为基金，才能保证这一奖学金的成功运行。
【例题•单选题】某公司从本年度起每年年末存入银行一笔固定金额的款项，若按复利用最简便算法计算第n年末可以从银行取出的本利和，则应选用的时间价值系数是（ ）。
A.复利终值数
B.复利现值系数
C.普通年金终值系数
D.普通年金现值系数
【答案】C
【例题•单选题】根据资金时间价值理论，在普通年金现值系数的基础上，期数减1、系数加1的计算结果，应当等于（ ）。
A.递延年金现值系数
B.后付年金现值系数
C.即付年金现值系数
D.永续年金现值系数
【答案】C
【例题•单选题】在下列各项资金时间价值系数中，与资本回收系数互为倒数关系的是（ ）。
A.（P/F，I，n） B.（P/A，I，n）
C.（F/P，I，n） D.（F/A，I，n）
【答案】B
【例题•判断题】在有关资金时间价值指标的计算过程中，普通年金现值与普通年金终值是互为逆运算的关系。（ ）
【答案】×
