2012年初级会计职称《初级会计实务》第十一章考点：财务管理基础

考点六：年金的计算（重点）
（一）有关年金的相关概念
1.年金的含义
年金，是指一定时期内每次等额收付的系列款项。具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。
2.年金的种类
年金包括：普通年金（后付年金）、即付年金（先付年金）、递延年金、永续年金等形式。
在年金中，系列等额收付的间隔期间只需要满足“相等”的条件即可，间隔期间可以不是一年，例如每季末等额支付的债券利息也是年金。
【例题·判断题】年金是指每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量。（　）
『正确答案』×
『答案解析』在年金中，系列收付款项的时间间隔只要满足“相等”的条件即可。间隔期间不一定是一年。注意如果本题改为“每隔一年，金额相等的一系列现金流入或流出量，是年金”则是正确的。即间隔期为一年，只是年金的一种情况。
【总结】
（1）这里的年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。
（2）这里年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从1月1日至12月31日，可以是从当年7月1日至次年6月30日。

【总结】
在年金的四种类型中，最基本的是普通年金，其他类型的年金都可以看成是普通年金的转化形式。普通年金和即付年金是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，而即付年金发生在期初。递延年金和永续年金是派生出来的年金。递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永续年金的收付期趋向于无穷大。
【小常识】诺贝尔奖是以瑞典著名化学家、硝化甘油炸药发明人阿尔弗雷德·贝恩哈德·诺贝尔的部分遗产作为基金创立的。诺贝尔奖包括金质奖章、证书和奖金支票。在遗嘱中他提出，将部分遗产（920万美元）作为基金，以其利息分设物理、化学、生理或医学、文学及和平（后添加了经济奖）5个奖项，授予世界各国在这些领域对人类作出重大贡献的学者。
【例题·单选题】（2010年）2007年1月1日，甲公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限为3年，每年12月31日支付租金10万元，共支付3年。该租金有年金的特点，属于（　）。
A.普通年金　B.即付年金　C.递延年金　D.永续年金
『正确答案』A
『答案解析』本题考核普通年金的特点。年末等额支付，属于普通年金。
（二）年金的计算
1.普通年金的计算
普通年金的计算包括：普通年金终值与偿债基金的计算；普通年金现值与年资本回收额。
（1）普通年金（后付年金）终值的计算（已知年金A，求终值F），年金终值系数＝（F／A，i，n）
普通年金的终值，是指在一定的时期内，在一定的利率下，每期期末等额的系列收付值的终值之和。
【例题·计算题】你每年年末存入银行100元，连续3年，年利率10%，则在第三年末积累多少钱？
『正确答案』

【思考问题】小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王9年的捐款在2003年底相当于多少钱？

推导公式过程：【等比数列的求和公式】
普通年金终值的计算（已知年金A，求终值F）
根据复利终值的方法计算年金终值的公式为:
F（终值）＝A（1＋i）0＋A（1＋i）1十A（1＋i）2＋A（1＋i）3＋……＋A（1＋i）n－1.. .（1）
将两边同时乘以（1＋i）得:
F（1＋i）＝A（1＋i）＋A（1＋1）2 ＋A（1＋i） 3 ＋A（1＋1）4＋……＋A（1＋i）n.......（2）
（2）－（1）得：
F×i＝A（1＋i）n － A＝A×[（1＋i） n －1]

【例题·单选题】某公司从本年度起每年年末存入银行一笔固定金额的款项，若按复利制用最简便算法计算第n年末可以从银行取出的本利和，则应选用的时间价值系数是（　）。
A.复利终值数　B.复利现值系数
C.普通年金终值系数D.普通年金现值系数
『正确答案』C
『答案解析』因为本题中是每年年末存入银行一笔固定金额的款项，所以符合普通年金的形式，因此计算第n年末可以从银行取出的本利和，实际上就是计算普通年金的终值，所以答案选择普通年金终值系数。
【例题·计算题】小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王9年的捐款在2003年底相当于多少钱？
『正确答案』
分析：年金：1000元（每年末捐款1000元，金额相等；时间间隔相等）
已知年金A，求终值F
方法一：F＝A[（1＋i） n－1]／i
＝1000×[（1＋2%）9－1]／2%
＝9754.6（元）
方法二：
F（终值）＝A（年金）×（F／A，i，n）年金终值系数
F＝1000×（F／A，2%，9）＝1000×9.7546＝9754.6（元）
【例题·计算题】某人购房有两套方案：（1）5年后付款120万元；（2）从现在开始每年年末付款20万元，连续5年，假定银行存款利率是7%，应如何付款？
『正确答案』
方案（1）：终值（F）＝120万元
方案（2）：终值（F）＝A（年金）×（F／A，i，n）年金终值系数
＝20×（F／A，7%，5）
＝20×5.7507＝115.014（万元）
方案（1）终值（F）大于方案（2）终值（F），从购房人的角度看，应选择方案（2）。
【例题·计算题】A矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权，从获得开采权的第1年开始，每年年末向A公司交纳10亿美元的开采费，直到10年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美元，在8年后，再付给60亿美元。如A公司要求的年投资回报率达到15%，问应接受哪个公司的投标?
『正确答案』
要回答上述问题，主要是要比较甲乙两个公司给A的开采权收入的大小。但由于两个公司支付开采权费用的时间不同，因此不能直接比较，而应比较这些支出在第10年终值的大小。
①甲公司的方案对A公司来说是一笔年末收款10亿美元的10年年金，其终值计算如下：
分析：年金：10亿美元（每年末，金额相等；时间间隔相等）
已知年金A，求终值F
F（终值）＝A（年金）×（F／A，i，n）年金终值系数
F＝10×（F/A，15%，10）＝10×20.304＝203.04（亿美元）
②乙公司的方案对A公司来说是两笔收款，分别计算其终值：
第1笔收款（40亿美元）的终值
F（终值）＝40×（1＋15%）10 [注：（1＋i）n为复利终值系数，记作（F／P，i，n）]
F（终值）＝P（现值）×（1＋i）n
＝40×（F／P，15%，10）＝40×4.0456＝161.824（亿美元）
第2笔收款（60亿美元）的终值
F（终值）＝60×（1＋15%）2
＝60×（F／P，15%，2）
＝60×1.3225＝79.35（亿美元）
终值合计161.824＋79.35＝241.174（亿美元）
③因此，甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。
（2）偿债基金的计算（即已知终值F，求年金A）
偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额（即已知终值F，求年金A）。在普通年金终值公式中解出A，这个A就是偿债基金。
已知：F＝A[（1＋i） n－1]／i，经过整理：

【总结】（1）偿债基金和普通年金终值互为逆运算；
（2）偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。
【例题·计算题】某人拟在5年后准备10000元购买一台平板电视机，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假设银行利率为10%，则每年需存入多少元？
『正确答案』
已知终值F,5年后支付10000元，求年金A:
根据公式A＝F×i/[（1＋i）n－1]
＝10000×10%/[（1＋10%）5－1]
＝10000×（A／F，10%，5）＝10000×0.1638＝1638（元）
＝10000×1/（F／A，10%，5）【注：普通年金终值系数的倒数】
＝10000×1/6.1051＝1638（元）
（3）普通年金现值（已知年金A，求普通年金现值P），年金现值系数”，记 （P／A，i，n）
普通年金现值，是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额。
根据复利现值的方法计算年金现值：
【例题·计算题】你需要在每年年末取出100元，连续3年，年利率10%，则你现在需要向银行存入多少钱？
『正确答案』
你现在需要向银行存入＝100×（1＋10%）－1＋100×（1＋10%）－2＋100×（1＋10%）－3＝248.68（元）
【思考问题】某投资项目于2000年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益40000元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。
根据复利现值的方法计算年金现值的公式为:

P＝ A（1＋i）－1＋A（1＋i） －2 ＋ A（1＋i） －3 ＋…A（1＋i） －n.............（1）
将两边同时乘以（1＋i）得：
P（1＋i）＝A＋A（1＋i） －1＋A（1＋i） －2 ＋……＋A（1＋i） –（n－1） .. ....（2）
（2）－（1）相减得:
P＝A×[1－（1＋i） –n]/i

【例题·计算题】现在存入一笔钱，准备在以后5年中每年末得到100元，假定利率为10%，现在应存入多少元？
『正确答案』
分析：（已知年金A，求普通年金现值P）
P（现值）＝A×（P／A，i，n） （已知年金A，求普通年金现值P，用年金现值系数）
P＝100×（P/A，10%，5）
＝100×3.791＝379.1（元）
【例题·计算题】某投资项目于2000年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益40000元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。
『正确答案』
已知年金A，求普通年金现值P
P（现值）＝A×（P／A，i，n） （已知年金A，求普通年金现值P，用年金现值系数）
P＝40000×（P/A，6%，10）
＝40000×7.3601＝294404（元）
【例题·计算题】钱小姐最近准备买房，看了好几家开发商的售房方案，其中一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10万元，然后分6年每年年末支付3万元。钱小姐很想知道每年付3万元相当于现在多少钱，好让她与现在2000元/平方米的市场价格进行比较。（贷款利率为6%）
『正确答案』
已知年金A，求普通年金现值P
P（现值）＝A×（P／A，i，n） （已知年金A，求普通年金现值P，用年金现值系数）
P＝3×（P/A，6%，6）＝3×4.9173＝14.7519（万元）
钱小姐付给A开发商的资金现值为：10＋14.7519＝24.7519（万元）
如果直接按每平方米2000元购买，钱小姐只需要付出20万元，可见分期付款对她不合算。
（4）年资本回收额的计算（已知普通年金现值P，求年金A）
年资本回收额，是指在约定年限内等额收回初始投入资本或清偿所欠的债务。从计算的角度看，就是在普通年金现值公式中解出A，这个A，就是资本回收额。计算公式如下：

【例题·计算题】某企业借得1000万元的贷款，在10年内以年利率12%等额偿还，则每年应付的金额为多少？
『正确答案』
已知普通年金现值P，求年金A
A（年金）＝P（现值）×i / [1－（1＋i）－n]
＝1000×12%/[1－（1＋12%）－10]
＝1000×1/（P/A，12%，10）【注：年金现值系数的倒数】
＝1000×1/5.6502≈177（万元）
【总结】（1）年资本回收额与普通年金现值互为逆运算；
（2）资本回收系数与普通年金现值系数互为倒数。
2.即付（先付）年金的计算
即付年金，是指每期期初等额收付的年金，又称为先付年金。即付（先付）年金的计算包括：即付（先付）年金终值与即付（先付）年金现值的计算。
（1）即付年金（先付年金）终值的计算
即付年金的终值，是指把即付年金每个等额A都换算成第n期期末的数值，再来求和。
方法一：

从上面可以看出，n期即付（先付）年金与n期普通（后付）年金的付款次数相同，但是由于付款时间的不同，n期即付（先付）年金终值比n期普通（后付）年金终值多计算一期利息。所以，可先求出n期普通年金的终值，然后再乘以（1＋i）便可以求出n期即付年金终值。计算公式：
F（终值）＝A（F/A，i，n）（1＋i）
F（终值）＝A×年金终值系数×（1＋i）
方法二：可根据n期即付年金终值与n＋1期普通年金的终值的关系推导出另外一个公式。由于二者的计息期数相同，但n期即付（先付）年金比n＋1期普通（后付）年金少付一次款，因此，只要将n＋1期普通（后付）年金的终值减去一期付款额A，经过整理便可以求出n期先付年金终值。即付年金的终值系数和普通年金相比，期数加1，而系数减1。计算公式，即：
F（终值）＝A[（F/A，i，n＋1）－1]
F（终值）＝A× 年金终值系数，期数加1，而系数减1
【例题·计算题】某人每年年初存入银行1000元，银行存款利率8%，求第10年末的本利和（终值）？已知：（F/A，8%，10）＝14.487；（F/A，8%，11）＝16.645
『正确答案』
【方法一】
F（终值）＝A×年金的终值系数×（1＋i）[注：多计算一期利息]
F＝A（F/A，i，n）（1＋i）
F＝1000×（F/A，8%，10）×（1＋8%）
＝1000×14.487×（1＋8%）＝15 645（元）
【方法二】
F（终值）＝A× 年金的终值系数，期数加1，而系数减1
F（终值）＝A[（F/A，i，n＋1）－1]
＝1000×[（F/A，8%，11）－1]
＝1000×（16.645－1）
＝15 645（元）
【例题·计算题】为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。若银行存款利率为5%，则王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱?
『正确答案』
【方法一】
F（终值）＝A×年金的终值系数×（1＋i）
F＝A（F/A，i，n）（1＋i）
F＝3000×（F/A，5%，6）×（1＋5%）＝21426（元）
【方法二】
F（终值）＝A× 年金终值系数，期数加1，而系数减1
F＝A[（F/A，i，n＋1）－1]
＝3000×[（F/A，5%，7）－1]
＝3000×（8.1420－1）
＝21426（元）
【例题·计算题】孙女士看到在邻近的城市中，一种品牌的火锅餐馆生意很火爆。她也想在自己所在的县城开一个火锅餐馆，于是找到业内人士进行咨询。花了很多时间，她终于联系到了火锅餐馆的中国总部，总部工作人员告诉她，如果她要加入火锅餐馆的经营队伍，必须一次性支付50万元，并按该火锅品牌的经营模式和经营范围营业。孙女士提出现在没有这么多现金，可否分次支付，得到的答复是如果分次支付，必须从开业当年起，每年年初支付20万元，付3年。3年中如果有一年没有按期付款，则总部将停止专营权的授予。假设孙女士现在身无分文，需要到银行贷款开业，而按照孙女士所在县城有关扶持下岗职工创业投资的计划，她可以获得年利率为5%的贷款扶持。请问孙女士现在应该一次支付还是分次支付?
『正确答案』对孙女士来说，如果一次支付，则相当于付现值50万元；而若分次支付，则相当于一个3年的即付年金，孙女士可以把这个即付年金折算为3年后的终值，再与50万元的3年终值进行比较，以发现哪个方案更有利。
（1）如果分次支付，则其3年终值为：
F（终值）＝A×年金的终值系数×（1＋i）
F＝20×（F/A，5%，3）×（1＋5%）
＝20×3.1525×1.05
＝66.2025（万元）
或者：F（终值）＝A× 年金的终值系数，期数加1，而系数减1
F＝20×[（F/A，5%，4）－1]
＝20×（4.3101－1）
＝66.202（万元）
（2）如果一次支付，则其3年的终值为：
F（终值）＝P（现值）×复利终值系数
50×（F/P，5%，3）＝50×1.1576＝57.88（万元）
相比之下，一次支付效果更好。
（2）即付年金现值的计算
【定义】即付年金现值，就是各期的年金分别求现值，然后累加起来。
方法一：

从图可以看出，n期即付（先付）年金与n期普通（后付）年金的付款次数相同，但是由于付款时间的不同，在计算现值时，n期即付（先付）年金比n期普通（后付）年金少贴现一期。所以，可先求出n期普通（后付）年金的现值，然后再乘以（1＋i）便可以求出n期即付（先付）年金现值。计算公式：
P（现值）＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）
P（现值）＝A×年金现值系数×（1＋i）
方法二：可根据n期即付（先付）年金现值与n－1期普通（后付）年金的关系推导出另外一个公式。n期即付（先付）年金现值与n－1期普通（后付）年金现值贴现期数相同，但比n－1期普通（后付）年金多一期不用贴现的付款A，因此，只要将n－1期普通（后付）年金的现值加上一期不用贴现的付款A，经过整理便可以求出n期即付年金现值。即付年金现值系数与普通年金现值系数相比，期数减1，系数加1。
P（现值）＝A[（P/A，i，n－1）＋1]
P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1
【例题·计算题】A公司租赁一设备，在10年中每年年初支付租金5 000元，年利率为8%，求这些租金的现值？
『正确答案』
【方法一】
P（现值）＝A×年金现值系数×（1＋i）
P＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）
P＝5000×（P/A，8%，10）×（1＋8%）＝36234（元）
【方法二】
P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1
P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]
＝5000×[（P/A，8%，9）＋1]
＝5000×（6.247＋1）＝36234（元）
【例题·计算题】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15 000元，分10年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?
『正确答案』
【方法一】
P（现值）＝A×年金现值系数×（1＋i）
P＝A×（P/A，i，n）×（1＋i）
P＝15000×（P/A，6%，10）×（1＋6%）＝117025.5（元）
【方法二】
P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]
P＝A·[（P/A，i，n－1）＋1]
＝15000×[（P/A，6%，9）＋1]
＝15000×（6.8017＋1）＝117025.5（元）
【例题·计算题】李博士是国内某领域的知名专家，某日接到一家上市公司的邀请函，邀请他作为公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件如下：
（1）每个月来公司指导工作一天；
（2）每年聘金10万元；
（3）提供公司所在地A市住房一套，价值80万元；
（4）在公司至少工作5年。
李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定应聘。但他不想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，这样住房没有专人照顾，因此他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。公司研究了李博士的请求，决定可以在今后5年里每年年初给李博士支付20万元住房补贴。
收到公司的通知后，李博士又犹豫起来，因为如果向公司要住房，可以将其出售，扣除售价5%的契税和手续费，他可以获得76万元，而若接受住房补贴，则每年年初可获得20万元。假设每年存款利率2%，则李博士应该如何选择?
『正确答案』
要解决上述问题，主要是要比较李博士每年收到住房补贴20万元的现值与售房76万元的大小问题。由于房贴每年年初发放，因此对李博士来说是一个即付年金。其现值计算如下：
P（现值）＝A×年金现值系数，期数减1，系数加1
P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]
P＝20×[（P/A，2%，4）＋1]
＝20×[3.8077＋1]
＝20×4.8077
＝96.154（万元）
从这一点来说，李博士应该接受住房补贴。
如果李博士本身是一个企业的业主，其资金的投资回报率为32%，则他应如何选择呢？
『正确答案』
在投资回报率为32%的条件下，每年20万的住房补贴现值为：
P＝20×[（P/A，32%，4）＋1]
＝20×[2.0957＋1]
＝20×3.0957
＝61.914（万元）
在这种情况下，应接受住房补贴。

【提示】

【例题·多选题】下列各项中，其数值等于即付年金终值系数的有（　）。
A.（P/A，i，n）（1＋i）　B.{（P/A，i，n－1）＋1}
C.（F/A，i，n）（1＋i）　D.{（F/A，i，n＋1）－1}
『正确答案』CD
『答案解析』即付年金终值系数是在普通年金终值系数的基础上，期数加1，系数减1，也等于普通年金终值系数再乘以（1＋i）。
3.递延年金计算
递延年金，是指第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。包括递延年金终值和递延年金现值计算
图示如下：

（1）递延年金终值计算
计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，只是注意扣除递延期即可。
F（终值）＝A（F/A，i，n）【年金终值系数】
式中，“n”表示A的个数，与递延期没有关系
【例题·计算题】某投资者拟购买一处房产，开发商提出了三个付款方案：
方案一：现在起15年内每年末支付10万元；（分析：普通年金）
方案二：现在起15年内每年初支付9.5万元；（分析：即付年金）
方案三：前5年不支付，第六年起到15年每年末支付18万元。（分析：递延年金）
假设按银行贷款利率10%复利计息，若采用终值方式比较，问哪一种付款方式对购买者有利？
『正确答案』终值点确定为15年末
方案一：普通年金
F（终值）＝A（F/A，i，n）（注：年金终值系数）
F＝1O×（F／A，10%，15）
＝10×31.772＝317.72（万元）
方案二：即付年金
F（终值）＝A[（F/A，i，n＋1）－1] （注：年金终值系数，期数＋1，系数－1）
F＝9.5×[（F／A，10%，16）－1]
＝9.5×（35.950－1）
＝332.03（万元）
方案三：递延年金
F＝18×（F／A，10%，10）（注：前5年不支付，第六年起到15年）
＝18×15.937
＝286.87（万元）
从上述计算可得出，采用第三种付款方案对购买者有利。
（2）递延年金现值的计算
【方法一】
两次折现，把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，这是求出来的现值是第一个等额收付前一期期末的数值，距离递延年金的现值点还有m期，再向前按照复利现值公式折现m期即可。

计算公式如下：
P（现值）＝A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
＝A×n期的年金现值系数×m期的复利现值系数
式中，m为递延期，n为连续收支期数
【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前6年不用还本付息，但从第7年至第10年每年年末偿还本息50万元。用该方法计算这笔款项的现值。
『正确答案』

关注：每年年末收付的递延期数m＝7－1＝6
P（现值）＝A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
＝A×n期的年金现值系数×m期的复利现值系数
P＝A×（P／A，10%，4）×（P／F，10%，6）
＝50×3.170×0.564
＝ 89.394（万元）
【方法二】把递延期每期期末都当作有等额的收付A，把递延期和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普通年金的现值，再把递延期多算的年金现值减掉即可。

P＝A×[（P/A,i,m＋n）－（P/A,i,m）]
＝A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]
【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前6年不用还本付息，但从第7年至第10年每年年末偿还本息50万元。
用该方法计算这笔款项的现值。
『正确答案』

P＝A×[（P/A,i,m＋n）－（P/A,i,m）]
＝ A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]
P＝A×（P／A，10%，10）－A×（P／A，10%，6）
＝ 50×[（P／A，10%，10）－（P／A，10%，6）]
＝50×（6.145－4.355）
＝89.5（万元）
【方法三】先求递延年金终值，再折现为现值。
P＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
＝A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]
【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前6年不用还本付息，但从第7年至第10年每年年末偿还本息50万元。
用该方法计算这笔款项的现值。
『正确答案』

P＝A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]
P＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
P＝50×（F/A，10%，4）×（P/F，10%，10）
＝50×4.641×0.386
＝89.5713
【例题·计算题】某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年至第20年每年年末偿还本息5000元。
【要求】用3种方法计算这笔款项的现值。
『正确答案』

方法一：
P＝A×n期的年金现值系数×m期的复利现值系数
P＝A×（P／A，10%，10）×（P／F，10%，10）
＝5000×6.145×0.386
＝11860（元）
方法二：
P＝A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]
P＝A×[（P／A，10%，20）－（P／A，10%，10）]
＝5000×（8.514－6.145）
＝11845（元）
两种计算方法相差15元，是因小数点的尾数造成的。
方法三：
A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]
P＝A×[（F／A，10%，10）×（P／F，10%，20）]
＝5000×15.937×0.1486
＝11841
【思考问题】
某人从第七年年末支付款项，则递延期数＝？递延期数＝7－1＝6
某人从第七年年初支付款项，则递延期数＝？递延期数＝7－2＝5
【例题·计算题】A公司拟购置一房地产，付款条件为：从第七年开始，每年年初支付10万元，连续支付10年，合计100万元该公司资金成本率为10%，则相当于该公司现在一次付款的金额为多少万元？
『正确答案』
递延期数＝7－2＝5
方法一：
P＝A×n期的年金现值系数×m期的复利现值系数
P＝A×（P／A，10%，10）×（P／F，10%，5）
＝10×6.1446×0.6209
＝38.152（万元）
方法二：
P＝A×[m＋n期年金现值系数－m期年金现值系数]
P＝A×[（P／A，10%，15）－（P／A，10%，5）]
＝10×（7.6061－3.7908）
＝38.153（万元）
两种计算方法相差10元，是因小数点的尾数造成的。
方法三：
A×[n期年金终值系数×m＋n期复利现值系数]
P＝A×[（F／A，10%，10）×（P／F，10%，15）]
＝10×15.9374×0.2394
＝38.154（万元）
【例题·计算题】某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：
（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；
（2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；
（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。
假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？
『正确答案』首先确定时间点，折算到一个时点，
方案（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；属于即付年金。即付年金现值的计算。

【例题·单选题】（2011年考题）某公司2010年1月1日投资建设一条生产线，建设期3年，经营期8年，建成后每年净现金流量均为500万元。该生产线净现金流量的年金形式是（　）。
A.普通年金　B.即付年金
C.递延年金　D.永续年金
『正确答案』C
『答案解析』建设期的三年里不产生现金流量，以后每年等额产生500万元的现金流量，该现金流量形式属于递延年金。
4.永续年金
永续年金，是指无限期等额收付的年金。
永续年金因为没有终止期，所以只有现值没有终值。
永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出。在普通年金的现值公式中，令n趋于无穷大，即可得出永续年金现值：P＝A/i

已知：P（现值）＝A×[1－（1＋i） –n]/i
当n趋向无穷大时，由于A和i都有界量，（1＋i）－n趋向无穷小。因此当n趋向无穷大时，P＝A/i
【例题·单选题】下列各项年金中，只有现值没有终值的年金是（　）。
A.普通年金　B.即付年金
C.永续年金　D.先付年金
『正确答案』C
【例题·计算题】归国华侨吴先生想支持家乡建设，特地在祖籍所在县设立奖学金。奖学金每年发放一次，奖励每年高考的文理科状元各10 000元。奖学金的基金保存在中国银行该县支行。银行一年的定期存款利率为2%。问吴先生要投资多少钱作为奖励基金？
『正确答案』由于每年都要拿出20 000元，因此奖学金的性质是一项永续年金，其现值应为20 000／2%＝1 000 000（元）
也就是说，吴先生要存入1 000 000元作为基金，才能保证这一奖学金的成功运行。
【例题·多选题】在下列各项中，可以直接或间接利用普通年金终值系数计算出确切结果的项目有（　）。
A.偿债基金　B.先付年金终值
C.永续年金现值　D.永续年金终值
『正确答案』AB
『答案解析』偿债基金＝年金终值×偿债基金系数＝年金终值/年金终值系数，所以A正确；先付年金终值＝普通年金终值×（1＋i）＝年金×普通年金终值系数×（1＋i），所以B正确。选项C的计算与普通年金终值系数无关，永续年金不存在终值。

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