考点七：利率的计算
前面讲过已知终值、期数、利率，求现值；已知现值、期数、利率，求终值；已知年金、期数、利率，求年金现值或年金终值。
（一）复利计息方式下利率的计算
1.永续年金
对于永续年金来说，可以直接根据公式来求。永续年金因为没有终止期，所以只有现值没有终值。
已知：P＝A/i；所以：i＝A/P
i=A/P
(永续年金/永续年金现值)
【例题·计算题】吴先生存入1 000 000元，奖励每年高考的文理科状元各10 000元，奖学金每年发放一次。问银行存款年利率为多少时才可以设定成永久性奖励基金?
『正确答案』i＝20 000/1 000 000＝2%
『答案解析』由于每年都要拿出20 000元，因此奖学金的性质是一项永续年金，其现值应为1 000 000元，因此：也就是说，利率不低于2%才能保证奖学金制度的正常运行。
2.其他情况（插值法的运用）
在除永续年金外的其他情况下，计算利率时，首先要找出已知的条件相对应的时间价值系数，比如复利终值（现值）系数，或者年金终值（现值）系数，然后查时间价值系数表。
如果表中有这个系数，则对应的利率即为要求的利率。如果没有，则查出最接近的一大一小两个系数，采用插值法求出。
（1）若已知复利现值（或者终值）系数以及期数n，可以查“复利现值（或者终值）系数表”，找出与已知复利现值（或者终值）系数最接近的两个系数及其对应的利率，按内插法公式计算利率。
【例题·计算题】郑先生下岗获得50 000元现金补助，他决定趁现在还有劳动能力，先找工作糊口，将款项存起来。郑先生预计，如果20年后这笔款项连本带利达到250 000元，那就可以解决自己的养老问题。问银行存款的年利率为多少，郑先生的预计才能变成现实?
『正确答案』如果20年后这笔款项连本带利达到250 000元，即为终值；复利终值系数表
F（终值）＝P（现值）× （F／P，i，n）
250 000＝50 000×（F／P，i，20）
（F／P，i，20）＝5，即（1+i）20
查复利终值系数表并用内插法求解。查表找出期数为20，复利终值系数最接近5的一大一小两个系数。
复利终值系数表（F/P，i，n）
1%――8% 9% 10%
1期1.010 ―1.0801.0901.100
2期1.020 －1.1661.1881.21
－ －－－－ －
20期 1.220 －4.6615.6046.727
（F/P,8%,20）＝4.661；（F/P,9%,20）＝5.604
因此，i在8%和9%之间。运用内插法有:
说明如果银行存款的年利率为8.359%，则郑先生的预计可以变成现实。
注意问题：
（1）原理是相似三角形的性质，对应边成比例的两个三角形是相似三角形，即相似三角形对应边之比相等。
（2）注意：左边短差比长差＝右边短差比长差
（3）（F/P,8%,20）＝4.661与（F/P,9%,20）＝5.604先后顺序没有关系。
【例题·计算题】张先生要在一个街道十字路口开办一个餐馆，于是找到十字路口的一家小卖部，提出要求承租该小卖部3年。小卖部的业主徐先生因小卖部受到附近超市的影响，生意清淡，也愿意清盘让张先生开餐馆，但提出应一次支付3年的使用费30 000元。张先生觉得现在一次拿30 000元比较困难，因此请求能否缓期支付。徐先生同意3年后支付，但金额为50 000元。若银行的贷款利率为5%，问张先生3年后付款是否合算？
『正确答案』先算出张先生3年后付款和现在付款金额之间的利息率，再同银行利率比较，若高于贷款利率，则应贷款然后现在支付，而若低于贷款利率则应3年后支付。如果3年后这笔款项连本带利达到50 000元，即为终值；复利终值系数表
F（终值）＝P（现值）× （F／P，i，n）
50000＝30000×（F／P，i，3）
（F／P，i，3）＝1.6667
查复利终值系数表并用内插法求解。查表找出期数为3，复利终值系数最接近1.6667的一大一小两个系数。（F/P,18%,3）＝1.6430；（F/P,19%,3）＝1.6852
因此，i在18%和19%之间。运用内插法有:
因此i在18%和19%之间，用内插法可求得i＝18.55%（18.56%）
从以上计算可看出，徐先生目前的使用费3万元延期到3年后支付则需要5万元，相当于年利率18.55%，远比银行贷款利率高，因此张先生3年后支付这笔款项并不合算。
【拓展】复利现值系数表？
P（现值）＝ F（终值）× （P／F，i，n）
30000＝50000×（P／F，i，3）
（P／F，i，3）＝0.6
查复利现值系数表并用内插法求解。查表找出期数为3，复利终值系数最接近0.6的一大一小两个系数。（P / F,18%,3）＝0.6086；（P / F,19%,3）＝0.5934
（2）若已知年金现值（或者终值系数）以及期数n，可以查“年金现值（或者终值）系数表”，找出与已知年金现值（或者终值）系数最接近的两个系数及其对应的利率，按内插法公式计算利率。
【例题·计算题】假定在上例中，徐先生要求张先生不是3年后一次支付，而是3年每年年末支付12 000元，那么张先生是现在一次付清还是分3次付清更为合算?
『正确答案』要回答这个问题，关键是比较分次付款的隐含利率和银行贷款利率的大小。每年年末支付12 000元分次付款，对张先生来说就是一项普通年金，设其利率为i，则有：年金现值系数
P＝A×（P／A，i，n）
30 000＝12 000×（P／A，i，3）
（P／A，i，3）＝2.5
查年金现值系数表并用内插法求解。查表找出期数为3，年金现值系数最接近2.5的一大一小两个系数。
（P/A,9%,3）＝2.5313；（P/A,10%,3）＝2.4869
因此，i在9%和10%之间。运用内插法有:
因此i在9%和10%之间，用内插法可求得i＝9.705%
如果分3次付清，3年支付款项的利率相当于9.705%，因此更合算的方式是张先生按5%的利率贷款，现在一次付清。
【例题·计算题】某公司第一年年初借款20 000元，每年年末还本付息额均为4000元，连续9年付清。问借款利率为多少？
『正确答案』根据题意，已知P＝20 000，A＝4 000，n＝9，则，
P＝A×（P／A，i，n）
20 000＝4 000×（P／A，i，9）
（P／A，i，9）＝5
查年金现值系数表并用内插法求解。查表找出期数为9，年金现值系数最接近2的一大一小两个系数。
（P/A,12%,9）＝5.3282
（P/A,14%,9）＝4.9464
因此，i在12%和14%之间。[假定13%的年金现值系数无法得到的情况下]
运用内插法有:
因此i在12%和14%之间，用内插法可求得i＝13.72%
（二）名义利率与实际利率
如果以“年”作为基本计息期，每年计算一次复利，这种情况下的年利率是名义利率。如果按照短于一年的计息期计算复利，并将全年利息额除以年初的本金，此时得到的利率是实际利率。名义利率与实际利率的换算关系如下：
i=(1+r／m)m-1
式中，i为实际利率，r为名义利率，m为每年复利计息次数。
【例题·计算题】假设甲公司和乙公司发行债券，面值为1 000元，票面利率8%和6%（名义利率），甲公司发行债券每年付息一次（每年复利次数1）；乙公司发行债券每半年付息一次（每年复利次数2）。现有两家公司发行债券，其他情况如下：
【例题·计算题】假定年利率为12%，按季复利计息，试求实际利率？
『正确答案』按季复利计息，m为每年复利计息次数4，名义利率为12%：
i＝（1＋r/m）m－1＝（1＋12%/4）4－1＝1.1255－1＝12.55%
【例题·计算题】某企业于年初存入10万元，在年利率10%、每半年复利计息一次的情况下，到第10年末，该企业能得到的本利和（复利终值）是多少?
『正确答案』
【方法一】按照实际利率计算
根据名义利率与实际利率的换算公式i＝（1＋r/m）m－1，本题中r＝10%，m＝2，有：
i＝（1＋10%/2）2－1＝10.25%
F＝10×（1＋10.25%）10＝26.53（万元）（无法查系数表）
【方法二】调整期数和利率
将r/m作为计息期利率，将m×n作为计息期数进行计算。
F＝P×（1＋r/m）m×n＝10×（1＋10%/2）20＝26.53（万元）（可以查复利终值系数表）
＝10×（F/P,5%,20）＝26.53（万元）
【总结】计算性内容总结
点击下载：2012年初级会计职称《初级会计实务》第十一章考点
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