第一节 资金时间价值
一、资金时间价值的概念
资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。
通常情况下，它相当于没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率(纯利率、通货膨胀很低情况下的国库券利率)。
【2003年判断】国库券是一种几乎没有风险的有价证券，其利率可以代表资金时间价值( )
答案：错
解析：通货膨胀率较低时，可以用国库券利率代表资金的时间价值。
二、终值与现值
终值又称将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，俗称本利和，通常记作F。
现值又称本金，是指未来某一时点上的一定量资金折合到现在的价值，通常记作P。
注意：
(1)现值和终值是一定量资金在前后两个不同时点上对应的价值，
终值=现值+利息
(2)现值和终值对应的时点之间可以划分为n个计息期(n≥1)，相邻两次计息的时间间隔
是计息期。如年、月、日等。计息期除非特殊说明，一般为一年。
计息方式包括复利计息和单利计息
复利计息―――利滚利，是指把以前实现的利息计入本金中再去计算利息。
单利计息―――只就本金计息，利息不再产生利息。
(一)单利计算
(1)终值：
单利计息方式下，利息的计算公式为：
I=P·i·n ，i为利率(折现率)，n为计息期
F=P+ P·i·n= P·(1+i·n),
其中(1+i·n)为单利终值系数
(2)现值：
P=F/(1+i·n)，其中，1/(1+i·n)为单利现值系数
注意：单利现值与单利终值互为逆运算
单利终值系数(1+i·n)与单利现值系数1/(1+i·n)互为倒数
【例3-1】
某人为了5年后能从银行取出500元，在年利率2%的情况下，目前应存入银行的金额是多少?
分析：已知单利终值，求单利现值，计算后得单利现值为454.55元
【例3-2】
某人将100元存入银行，年利率为2%，求5年后的终值。
分析：已知单利现值，求单利终值，利用F=P(1+ni)的公式可得单利终值为110元
(二)、复利计算
(1)复利终值的计算公式为(已知复利现值,求复利终值)：
F1=P+P×i×1=P×(1+i)
F2=【P×(1+i)】+ 【P×(1+i)】×i×1
=P×(1+i)×(1+i)
=P×(1+i)2
以此类推：
F=P·(1+i)n，
式中(1+i)n简称"复利终值系数"，记作(F/P，i，n)。
(2)复利现值其计算公式为(已知终值,求现值)：P=F·(1+i)-n
式中(1+i)-n简称"复利现值系数"，记作(P/F，i，n)。
结论：复利现值与复利终值互为逆运算
复利终值系数(1+i)n与复利现值系数(1+i)-n互为倒数
【例3—3】
某人为了5年后能从银行取出100元，在复利年利率2%的情况下，求当前应存入的金额?
分析：已知复利终值，求复利现值，需要利用复利现值系数(P/F，2%，5)
【例3—4】
某人将100元存入银行，复利年利率为2%，求5年后的终值
分析：已知复利现值，求复利终值，需要利用复利现值系数(F/P，2%，5)
(三)年金的终值与现值
年金是指一定时期内每次等额收付的系列款项，通常记作A。
系列等额收付的间隔期间只需要满足“相等”调节即可，间隔期完全可以不是一年。
年金按其每次收付款项发生的时点不同，可以分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等类型。
①普通年金与即付年金是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，两者的区别是普通年金发生在期末，即付年金发生在期初
②递延年金和永续年金是派生出来的年金。递延年金是从第二期或第二期以后才发生，而永续年金的收付期趋向无穷大。
1.普通年金
普通年金是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项，又称为后付年金。其形式如下图:
利用复利将每期年金折到第n年末
F=A+A(1+i)+A(1+i)2+ …+A(1+i)n-1 (1)
将此公式两边都乘以(1+i)，
F(1+i)=A(1+i)+ A(1+i)2+ …+A(1+i)n (2)
(2)-(1)
F i= A(1+i)n- A,整理后得
注意：
①式中
称作"年金终值系数"，记作(F/A，i，n)。
②年金终值系数与复利终值系数关系如下：
【例3-5】
小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐赠。小王向这位失学儿童每年捐款1000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王九年捐款在2003年底相当于多少钱?
分析：
每年年末支付1000元的款项，总计支付了9年，属于普通年金的形式，已知普通年金，求普通年金终值，利用(F/A，i，n)计算。
2.偿债基金计算
是指为了在约定的未来一定时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额提取的存款准备金。(已经普通年金终值，求普通年金)
偿债基金与年金终值互为逆运算，其计算公式为：
称作"偿债基金系数"，记作(A/F，i，n)
结论：
(1)年偿债基金与普通年金终值互为逆运算
(2)偿债基金系数
与普通年金终值系数
互为倒数
【例3-7】
某人拟在5年后还清10000元的债务，从现在起每年末等额存入银行一笔款项。假设银行利率为10%，则每年需存入多少元?
分析：已知普通年金终值，求普通年金。
2.即付年金
即付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额收付的系列款项，又称先付年金。
其形式如下：
从图中可以看出
即付年金与普通年金的区别仅在于付款时间的不同。
若向前延长一期，则可看出由(-1～n-1)刚好是n个期间，如下图：
我们所要的是第n期期末的终值，所以：
即付年金终值的计算公式为：
F=A·[(F/A，i，n+1)-1]，其中[(F/A，i，n+1)-1]为即付年金终值系数
同理，
即付年金现值的计算公式为：
P=A·[(P/A，i，n-1)+1]，其中[(P/A，i，n-1)+1]为即付年金现值系数
总结：
即付年金现值=年金×即付年金现值系数(普通年金现值系数表期数减1，系数加1)
=普通年金现值(1+i)
即付年金终值=年金×即付年金终值系数(普通年金终值系数表期数加1，系数减1)
=普通年金终值(1+i)
【例3-11】
为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3000元。若银行存款利率是5%，则王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱?
分析：已知即付年金，求即付年金终值。利用的公式是：
即付年金终值=年金×[(F/A，i，n+1)-1]=3000×[(F/A，i，7)-1]
或者：
即付年金终值=普通年金终值(1+i)=【3000×(F/A，5%，6)】(1+5%)
【例3-12】
孙女士看到在邻近的城市中，一种品牌的火锅餐馆生意很火爆。她也想在自己所在的县城开一个火锅餐馆，于是找到业内人士进行咨询。花了很多时间，她终于联系到了火锅餐馆的中国总部，总部工作人员告诉她，如果她要加入火锅餐馆的经营队伍，必须一次性支付50万元，并按该火锅品牌的经营模式和经营范围营业。孙女士提出现在没有这么多现金，可否分次支付，得到的答复是如果分次支付，必须从开业当年起，每年年初支付20万元，付3年。三年中如果有一年没有按期付款，则总部将停止专营权的授予。假设孙女士现在身无分文，需要到银行贷款开业，而按照孙女士所在县城有关扶持下岗职工创业投资的计划，她可以获得年利率为5%的贷款扶持。则孙女士应该如何选择?
解析：对孙女士来说，如果一次支付，则相当于付现值50万元;
而若分次支付，则相当于一个3年的即付年金，孙女士可以把这个即付年金折算为3年后的终值，再与50万元的3年终值进行比较，以发现哪个方案更有利。
如果分次支付，则其3年终值为：
F=20×(F/A,5%,3)×(1+5%)
=20×3.1525×1.05
=66.2025(万元)
如果一次支付，则其3年的终值为：
50×(F/P,5%,3)=50×1.1576=57.88(万元)
相比之下，一次支付效果更好。
如果比较现值：
一次支付现值为50万元
分次支付的现值=20×(P/A，5%，3)×(1+5%)=57.1872(万元)
结论：一次性支付较好。
3.递延年金
递延年金是指第一次收付款发生时间与第一期无关，而是隔若干期(m)后才开始发生的系列等额收付款项。
注：递延年金的终值与递延期无关，而递延年金的现值与递延期相关。
见下图:
由上图可知，递延年金的终值与递延期无关。
n表示A的个数，而m表示递延期
递延年金的现值计算有如下三种方法
P=A·(P/A，i，n)·(P/F，i，m)，(如上图所示)
P=A·[(P/A，i，m+n)-(P/A，i，m)]
P=A·(F/A，i，n)·(P/F，i，n+m)
【例3-16】
某企业向银行借入一笔款项，银行货款的年利率为10%，每年复利一次。银行规定前10年不用还本付息，但从第11年~第20年每年年末偿还本息5000元。要求计算这笔款项的现值。
解答：
注意本题中，递延期是10，而年金的个数是11，所以
P=5000×(P/A，10%，10)×(P/F，10%，10)
或=5000×(P/A，10%，20)-5000×(P/A，10%，10)
或=5000×(F/A，10%，10)×(P/F，10%，20)
不同计算方法的计算结果存在误差，是因小数点的尾数造成的。
【例3-17】
某公司拟购置一处房产，房主提出两种付款方案：
(1)从现在起，每年年初支付20万元，连续付10次，共200万元。
(2)从第5年开始，每年年初支付25万元，连续支付10次，共250万元。
假设该公司的资本成本率(即最低报酬率)为10%，你认为该公司应选择哪个方案?
解答：
(1)方案1 已知即付年金，求即付年金现值。
P=20×(P/A，10%，10)×(1+10%)
或P=20×[(P/A，10%，9)+1]=135.18(万元)
(2)方案2已知递延期是3，普通年金个数为10个，求递延年金现值
P=25×(P/A,10%,10)×(P/F,10%,3)=115.41(万元)
或P=25×[(P/A,10%,13)-(P/A,10%,3)]=115.41(万元)
该公司应选择第二种方案。
(四)永续年金
永续年金是指无限期等额收付的特种年金。它是普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。其计算公式为：
【例3-18】已知永续年金求永续年金现值。
【2008年单选】某公司拟于5年后一次还清所欠债务100 000元，假定银行利息率为10%，5年10%的年金终值系数为6.1051，5年10%的年金现值系数为3.7908，则应从现在起每年末等额存入银行的偿债基金为( )。
A.16379.75 B.26379.66 C.379080 D.610510
答案：A
答案解析：本题已知普通年金终值求年金。
普通年金=普通年金终值/普通年金终值系数
=100000/6.1051=16379.75(元)
【2008年多选】下列各项中，其数值等于即付年金终值系数的有( )。
A.(P/A，i，n)(1+i)
B.{(P/A，i，n-1)+1}
C.(F/A，i，n)(1+i)
D.{(F/A，i，n+1)-1}
答案：CD
【2007年多选】在下列各项中，可以直接或间接利用普通年金终值系数计算出确切结果的项目有( )。
A.偿债基金
B.先付年金终值
C.永续年金现值
D.永续年金终值
答案：AB
解析：偿债基金=年金终值×偿债基金系数=年金终值/年金终值系数，所以A正确;
即付年金终值=普通年金终值×(1+i)
=年金×普通年金终值系数×(1+i)，所以B正确。
永续年金现值的计算与普通年金终值系数无关，永续年金不存在终值。
【2002年单选】下列各项中，代表即付年金现值系数的是()。
A.[(P/A，i，n+1)+1] B.[(P/A，I，n+1)-1]
C.[(P/A，i，n-1)-1] D.[(P/A，I，n-1)+1]
答案：D
解析：即付年金现值=普通年金现值×(1+i)
=[(P/A，i，n-1)+1]
【2004年单选】 在下列各项资金时间价值系数中，与资本回收系数互为倒数关系的是( )
A. (P/F，i，n) B. (P/A，i，n)
C. (F/P，i，n) D. (F/A，i，n)
答案：B
解析：普通年金现值系数与资本回收系数互为倒数关系
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